板块五　即兴创作与风格

5-1　即兴创作（第 135–140 讲）#

第 135–140 讲 · 约 143 分钟阅读

本章对应第 135–140 讲，共 6 讲。前置：第 1–134 讲全部内容，尤其是第 4-4 章的调性布局（记号 130-N）与判据 134-A。
本章分两组：第 135–138 讲四个情绪标签的参量配方；第 139–140 讲成篇的即兴写作。

本章导读#

本章与前四个板块的根本差别#

第 1 至 134 讲的每一个训练目标都是可检验的技术指标：音准、节拍偏移、移动量的半音数、和弦的组成音、判据的逐行核对。
本章的标题却是"孤独""古老""伤感""喜悦"——这些是听者的主观反应，不是乐谱的属性。

这与 0-2 §0 第 2 条（"拒绝模糊表述"）直接冲突。本章必须先处理这个冲突，否则整章将退化为不可检验的描述。

本教程在本章的立场#

本教程不断言任何和弦、音程、织体或调式"具有"某种情绪。
这类断言无法由本教程给出的任何定义推出，也无法由学习者独立验证。

本章能够严格给出的，只有以下两类内容：

参量配置与情绪标签之间的对应关系，是经验性的、文化相关的。本教程不予证明，并以「配方」标注，与「命题」严格区分。

本章各讲#

第 135 讲承担全章的方法论：八个可控参量、「配方」这一标签的定义、以及本章通用的三条规则，全部在第 135 讲建立，后五讲直接沿用，不再重复。
故第 135 讲不可跳过，即使你对"孤独"这一标签不感兴趣。

本章的义务#

	做什么	在哪几讲
一	建立八参量坐标系，使六讲的配方可以逐项对比	135（§135.2）、140（对比表）
二	对每个配方，逐项标明哪些依据可证、哪些属经验	135–138 各自的"参量依据"表
三	给出可核对的执行判据——核对的是执行，不是效果	135–138 各自的配方表
四	把第 4-4 章的调性布局接入成篇写作	139–140

第 135 讲　如何用钢琴表达孤独的感觉#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）说清本章的立场，并说出本教程在本章不断言什么；（2）说出「配方」这一标签的逻辑地位，及其与命题、规则、判据、方案的区别；（3）默写八个可控参量及其取值范围与核对方式；（4）复述并证明命题 135-1（音区与可闻泛音个数），并说出它不能说明什么；（5）复述并证明命题 135-2（平均声部间距），并写出"疏声位"的量化定义；（6）默写配方 135-R 的八项设定及其可核对判据；（7）说出配方中哪几项有证明支持、哪几项属经验；（8）复述规则 135-A 的三条；（9）演奏谱例并通过八项执行核对。

理论

135.1 本章的立场与「配方」这一标签#

术语说明｜情绪标签（affective label）
本章标题中的"孤独""古老""伤感""喜悦"，是听者主观反应的名称，不是乐谱的属性。
它们在本教程中只充当一件事：设计目标的名字。

术语说明｜配方（recipe）
本教程用「配方 N-R」标注一组参量设定，其形式为：

\textbf{若要追求标签 }L\textbf{，可按以下八项设定参量。}

配方既不是定理，也不是规则。 本章全部六讲的情绪相关内容一律以配方标注。

五种标签的逻辑地位对照（本教程全部标签的完整清单）：

配方的可检验部分，是"你是否按它执行了"，不是"听者是否产生了该情绪"。
本教程对后者不作任何断言，因此也不对它设达标判定。

一条必须说清的边界
不得把配方当作命题使用。
在分析他人作品时，"此处用了小调，故表达孤独"这一推理不成立——它把一个经验性的建议当成了充分条件。
成立的说法是："此处的参量配置与配方 135-R 的第 ⑤ 项一致。"这是一个可核对的陈述，而前者不是。

135.2 八个可控参量#

本节建立全章共用的坐标系。第 136–140 讲的每一个配方都是这八个参量的一组取值，故六讲的配方可以逐项对比（第 140 讲给出完整对比表）。

八个参量都是可以独立调节的——改变其中任意一个，其余七个可以保持不变。
这是"参量"一词在本章的全部含义。 它不意味着八项之间在听感上互不影响（它们显然互相影响），只意味着它们在谱面上可以分别指定。

135.3 命题 135-1：音区与可闻泛音个数#

本节与下一节给出本章仅有的两条可证内容。它们说明"高音区显得单薄""声部少显得空"这两句常见说法中，可计算的部分究竟是什么。

命题 135-1（可闻泛音个数与基频成反比）
设某音的基频为 f_0，其泛音列的分音频率为 n f_0（n = 1, 2, 3, \ldots）。设可闻频率上限为 f_{\max}。
则该音在 f_{\max} 以下的分音个数为

N(f_0) \;=\; \left\lfloor \frac{f_{\max}}{f_0} \right\rfloor

故基频每升高一个八度（f_0 加倍），可闻分音个数减半。

证明：第 n 个分音的频率为 n f_0。该分音可闻当且仅当 n f_0 \le f_{\max}，即 n \le f_{\max}/f_0。
n 取正整数，故个数为 \lfloor f_{\max}/f_0 \rfloor。
以 2f_0 代入得 \lfloor f_{\max}/(2f_0) \rfloor，约为原值的一半 \blacksquare

实例（取 f_{\max} = 16000 Hz；基频由 0-2 §1.2 的公式算出）：

核对：16000 / 65.41 = 244.6 \Rightarrow 244 ✓　16000 / 261.63 = 61.2 \Rightarrow 61 ✓
16000 / 1046.50 = 15.3 \Rightarrow 15 ✓　16000 / 2093.00 = 7.6 \Rightarrow 7 ✓
每升高两个八度，个数约减为四分之一 ✓

本命题不能说明什么（必须明确）

本命题说明的	本命题不说明的
可闻范围内的分音个数	各分音的强度（钢琴高音区弦短、能量衰减快，本命题不涉及）
该个数随音区的变化规律	听者是否因此感到"单薄"或"孤独"

故本命题只支持配方 135-R 第 ① 项中"右手用高音区"这一条的物理部分，不支持它与情绪标签的关联。

135.4 命题 135-2：平均声部间距与"疏声位"#

命题 135-2（平均声部间距）
设一个和声单位有 V 个声部（V \ge 2），其最低音与最高音相距 W 个半音。
则相邻声部的平均间距为

\bar{d} \;=\; \frac{W}{V - 1}\ \text{个半音}

证明：V 个声部在音高轴上把长度为 W 的区间分成 V - 1 段，各段长度之和为 W，故平均值为 W/(V-1) \blacksquare

推论：跨度 W 固定时，声部数 V 越少，平均间距 \bar{d} 越大。

实例（半音值按 0-2 §1.2，中央 C = C4 = 60）：

术语说明｜疏声位
本教程定义：平均相邻声部间距 \bar{d} \ge 12 个半音（一个八度）的声位，称为疏声位。
这是一个有明确阈值的量化定义，可由谱面直接算出。

与英文 open voicing 的区别：后者泛指"非密集排列"，没有统一的数值阈值。二者不等同，不得互相替换。

本命题不能说明什么
它给出的是一个可计算的几何量，不是听感判断。
"疏声位听起来空"是经验性说法，本教程不予证明。
本命题只保证：按配方执行后，\bar{d} 确实达到了指定的数值——这一点是可以核对的。

135.5 配方 135-R：孤独#

配方 135-R
若要追求"孤独"这一标签，可按以下八项设定参量。

	参量	设定	可核对判据
①	音区 R	左手 A1–C3，右手 C5–C7；中音区 C3–C5 留空	谱面中无半音值 48–72 的音
②	密度 D	每小节击键不超过 4 次（两手合计）	数栅格中的 X，逐小节 \le 4
③	声部数 V	每个和声单位 2–3 个音	逐单位数音；且 \bar{d} \ge 12（命题 135-2）
④	和弦类型 C	纯五度音程（省略三音），或三和弦；不用七和弦以上	和弦符号中无 7、9、11、13
⑤	调式 M	自然小调，且实际用音不超过 6 个	列出音集，计数 \le 6
⑥	速度 T	♩ = 48–60	读谱头
⑦	力度 P	pp–p	读力度记号
⑧	踏板 S	每 2 小节换一次	读踏板记号

该配方各项的依据（本表是本章方法论的核心，每一讲都有一张）：

八项中有四项由命题支持，四项纯属经验。本教程如实标出，不作掩饰。
"经验性"不等于"随意"——它意味着这些设定来自流行钢琴的通行做法，可以照做，但不能当作定理引用（§135.1 的边界）。

135.6 规则 135-A：本章通用的三条#

规则 135-A（配方的使用，本章六讲通用）

1. 配方必须整组执行，不得只取其中一两项。
   理由：八个参量在听感上互相影响。只把速度降到 ♩ = 52 而不改音区、密度与声部数，得到的是"放慢了的原来那段"，不是配方所描述的音响。
   核对方式：八项判据逐项打勾，缺一项即为未执行。
2. 执行之后必须逐项核对，核对的对象是执行，不是效果。
   达标判定只写"八项判据是否满足"，不写"是否听起来孤独"。
3. 不得把配方当作命题引用（§135.1 的边界）。

这三条在第 136–140 讲不再重复，但始终有效。

135.7 键盘实现#

① 两手的分工与坐标

左手：A1–C3    只弹纯五度（根音 ＋ 五音），每 2 小节一次
右手：C5–C7    只弹单音，每小节 1–2 个
中间：C3–C5    全部留空 ← 本配方最关键的一项

"留空"是一个动作，不是一个省略。
练习时把中音区当作禁区：两手都不得进入 C3–C5，哪怕经过音也不行。

② 左手纯五度的指法

LH: 5 指按根音，1 指按上方五度       例：A1（5 指）＋ E2（1 指）
    五度 = 7 个半音，五指自然张开即可覆盖，不需要移位

③ 踏板

每 2 小节换一次（对照第 128 讲 §128.8 的"每单位换一次"——方向相反）。
理由：本配方的和声单位每 2 小节才变一次，且声部间距大（\bar{d} \ge 12），相邻音不会在踏板中形成小二度浑浊（这正是第 128 讲必须频繁换踏板的原因）。
故长踏板在此成立，在半音下行段中不成立。 两处的判据是同一条：踏板内是否会出现小二度。

④ 触键

力度 pp–p 时，不得用"轻拍"代替"慢下键"。
做法：手指贴键，缓慢下压至底。指尖离键面不超过 5 毫米。
核对：若能听到指甲或指尖撞击键面的杂音，说明仍在"拍"而非"压"。

135.8 谱例#

谱例一：配方 135-R 的一个实现（a 小调）

X:81
T:135-1 配方 135-R 的实现（a 小调，原创）
M:4/4
L:1/4
Q:1/4=52
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:Am
V:RH
a4 | z2 c'2 | c'4 | z2 a2 | g4 | z2 e2 | e4 | a4 |]
V:LH
[A,,,E,,]4 | z4 | [F,,,C,,]4 | z4 | [C,,G,,]4 | z4 | [E,,,B,,,]4 | [A,,,E,,]4 |]

谱例说明（ABC 的八度记号见 0-2 §9：A,,, = A1，a = A5，c' = C6）：

小节	左手	半音值	右手	半音值	和弦
1	A1 ＋ E2	33, 40	A5	81	Am（省略三音）
2	—（踏板延续）	—	C6	84	同上
3	F1 ＋ C2	29, 36	C6	84	F（省略三音）
4	—（踏板延续）	—	A5	81	同上
5	C2 ＋ G2	36, 43	G5	79	C（省略三音）
6	—（踏板延续）	—	E5	76	同上
7	E1 ＋ B1	28, 35	E5	76	Em（省略三音）
8	A1 ＋ E2	33, 40	A5	81	Am（省略三音）

左手四个五度的半音差：40-33 = 7、36-29 = 7、43-36 = 7、35-28 = 7 ✓ 全部为纯五度 ✓

八项判据逐项核对：

项	判据	本谱例	结果
①	无半音值 48–72 的音	全部音为 28–43 与 76–84	✓
②	每小节击键 \le 4	逐小节为 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2	✓
③	V = 2–3 且 \bar{d} \ge 12	第 1 小节 V=3、W = 81-33 = 48、\bar{d} = 24	✓
④	无 7／9／11／13	四个和弦全部为省略三音的五度	✓
⑤	自然小调，用音 \le 6	用音为 \{A, B, C, E, F, G\}，6 个	✓
⑥	♩ = 48–60	♩ = 52	✓
⑦	pp–p	全曲 pp	✓
⑧	每 2 小节换踏板	第 1／3／5／7 小节各换一次	✓

八项全部满足 ⇒ 本谱例是配方 135-R 的一个合格实现。
注意达标判定到此为止——本教程不再断言它"听起来孤独"（规则 135-A 第 2 条）。

建议的对照练习：

1. 破坏第 ① 项：把右手整体下移两个八度（a → A,，c' → C，以此类推），演奏两遍——中音区不再留空，\bar{d} 由 24 降至 (45-33)/2 = 6；说出音响的变化。
2. 破坏第 ③ 项：把左手的纯五度补全为三和弦（第 1 小节改为 A1–E2–C3），演奏两遍——V 由 3 变 4，且 C3 落入禁区。
3. 破坏第 ⑧ 项：改为每半小节换一次踏板，演奏两遍——长音被切断，八项中的其余七项不变而音响已不同；这说明规则 135-A 第 1 条为什么要求整组执行。
4. 只破坏第 ⑥ 项：把速度提到 ♩ = 120，其余七项不变，演奏两遍——说出它与"原样"和"第 1 项被破坏"三者之间的差别。

练习

练习 135-1　本章的立场

项	内容
练习内容	① 写出本教程在本章不断言什么；② 写出本章能够严格给出的两类内容；③ 说明「配方」与「命题」「规则」的区别；④ 判断下列陈述是否成立：（a）"此处用小调，故表达孤独"；（b）"此处的参量配置与配方 135-R 第 ⑤ 项一致"
速度	—
数量	一次完成
达标判定	① 不断言任何和弦／织体"具有"某种情绪；② 可控参量、参量的物理／结构后果；③ 配方偏离不是错误，命题不成立即错误，规则违反则目标无法达成；④ （a）不成立（把经验建议当充分条件）；（b）成立（可核对的陈述）

练习 135-2　八个可控参量

项	内容
练习内容	① 默写八个参量的名称、记号、取值范围与核对方式；② 说明"可独立调节"在本章的确切含义；③ 取第 4-4 章谱例一（X:64），逐项写出它的八个参量值；④ 说明为什么八讲的配方可以逐项对比
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 八行全对；② 指在谱面上可以分别指定，不指听感上互不影响；③ 八项都有具体值；④ 因为它们是同一坐标系中的不同取值

练习 135-3　命题 135-1

项	内容
练习内容	① 笔算：证明命题 135-1；② 取 f_{\max} = 16000 Hz，算出 C2、C4、C6、C7 的 N；③ 用 0-2 §1.2 的公式自行算出 A4、A2 的 f_0 与 N；④ 写出本命题不能说明的两件事
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① n f_0 \le f_{\max} \iff n \le f_{\max}/f_0；② 244、61、15、7；③ A4 = 440 Hz，N = 36；A2 = 110 Hz，N = 145；④ 分音强度；听者的主观反应

练习 135-4　命题 135-2 与疏声位

项	内容
练习内容	① 笔算：证明命题 135-2；② 算出表中四个声位的 \bar{d}；③ 写出"疏声位"的定义，并指出四个声位中哪些是疏声位；④ 说明本教程的"疏声位"与英文 open voicing 的区别
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① V 个声部分成 V-1 段；② 3.5、10.3、15.5、31.0；③ \bar{d} \ge 12；后两个是；④ 本教程有明确数值阈值，后者没有

练习 135-5　配方 135-R 的默写与依据

项	内容
练习内容	① 默写配方 135-R 的八项设定与八条可核对判据；② 默写"参量依据"表，逐项标出可证／经验；③ 统计八项中可证与经验各几项；④ 说明"经验性"为什么不等于"随意"
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成，允许一次重做
达标判定	① 八行全对；② 七行全对；③ 四项可证、四项经验；④ 它们来自通行做法，可以照做，但不能当定理引用

练习 135-6　键盘实现

项	内容
练习内容	① 只练左手：在 A1–C3 内演奏四个纯五度（A1–E2、F1–C2、C2–G2、E1–B1），各 8 次，♩ = 52；② 只练右手：在 C5–C7 内演奏谱例一的旋律 8 遍；③ 合手演奏谱例一 8 遍；④ 逐项核对八条判据并填表
速度	♩ = 52 固定
数量	①② 各 8 次／遍；③ 8 遍
达标判定	① 五度全部为 7 个半音，五指不移位；② 无错音，且全部音在 C5–C7 内；③ 合手无中断，中音区始终无音；④ 八项全部满足

练习 135-7　四条对照练习与参量的相互影响

项	内容
练习内容	① 做"建议的对照练习"四项；② 对每项写出被破坏的是哪一项判据，以及该项的数值如何改变；③ 说明规则 135-A 第 1 条为什么要求整组执行；④ 说明第 4 项（只改速度）与第 1 项（改音区）在性质上的差别
速度	♩ = 52（第 4 项为 ♩ = 120）
数量	各 2 遍
达标判定	① 四项完成；② 第 1 项 \bar{d} 由 24 降至 6；第 2 项 V 由 3 变 4；第 3 项 ⑧ 不满足；第 4 项 ⑥ 不满足；③ 八参量互相影响，单改一项得到的是"改了一项的原样"；④ 速度是经验性设定，音区是可证设定——前者的改变无法用命题度量，后者可以

练习 135-8　自作一段

项	内容
练习内容	① 换一个小调（d 小调或 e 小调），自行写出符合配方 135-R 全部八项的 8 小节；② 写出你所用的四个和弦与全部音集；③ 逐项核对八条判据，填表；④ 演奏 8 遍并录音回放，指出哪一小节最接近、哪一小节最偏离配方
速度	♩ = 48–60 自选，固定
数量	8 遍
达标判定	① 8 小节完整；② 和弦与音集列出，音集不超过 6 个音；③ 八项全部满足；④ 能指出具体小节并说出偏离的是哪一项判据

达标自检

• 我能说出本教程在本章不断言什么。
• 我能说出本章能够严格给出的两类内容。
• 我能说出「配方」的逻辑地位，以及它与命题、规则、判据、方案、记号的区别。
• 我能说出为什么"此处用小调，故表达孤独"这一推理不成立。
• 我能默写八个可控参量的名称、记号、取值范围与核对方式。
• 我能说出"可独立调节"在本章的确切含义。
• 我能复述并证明命题 135-1，算出 C2、C4、C6、C7 的可闻分音个数。
• 我能说出命题 135-1 不能说明的两件事。
• 我能复述并证明命题 135-2，算出四个声位的 \bar{d}。
• 我能写出"疏声位"的量化定义，并说出它与 open voicing 的区别。
• 我能默写配方 135-R 的八项设定与八条可核对判据。
• 我能逐项说出配方 135-R 中哪四项可证、哪四项属经验。
• 我能复述规则 135-A 的三条。
• 我能说出本配方的长踏板与第 128 讲的频繁换踏板为什么依据同一条判据。
• 我已完成谱例一的演奏，并逐项核对了八条判据。
• 我已完成四条对照练习，并能说出每项被破坏的判据与数值变化。
• 我已在另一个小调上自作一段，八项判据全部满足。

常见错误

第 136 讲　如何用钢琴表达古老的感觉#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）写出中国五声音阶的音级与相邻半音数；（2）复述并证明命题 136-1（五声音阶的音程含量），默写其六个数字，并说出它在即兴中最实用的后果；（3）复述并证明命题 136-2（导音的缺席）；（4）复述并证明命题 136-3（五声音阶中可构成的三和弦恰有两个），并说出它与第 4 板块的分界意义；（5）复述并证明命题 136-4（五声内的平行进行不产生小二度或三全音），默写其四行取值表；（6）默写配方 136-R 与其参量依据表；（7）复述规则 136-A 的三条；（8）演奏谱例并通过八项执行核对。

理论

本讲沿用第 135 讲建立的全部方法论：八个可控参量（§135.2）、「配方」的逻辑地位（§135.1）、规则 135-A 的三条。不再重复。

136.1 五声音阶#

术语说明｜五声音阶（pentatonic scale）
本教程指中国传统的五声音阶，其五个音自古称为宫、商、角、徵、羽。
以宫为第 1 级时，五个音级为 1、2、3、5、6（0-2 §1.5 的级数记号）。
C 宫五声音阶 = \{C, D, E, G, A\}，半音值 \{0, 2, 4, 7, 9\}。

相邻音的半音差依次为 2、2、3、2、3，最小值为 2。
故五声音阶内不存在相邻的半音。 这是下一节全部结论的出发点。

术语说明｜羽调式
以第 6 级（羽音）为主音的五声音阶。 C 宫五声的羽调式即 a 羽，其音仍为 \{A, C, D, E, G\}，只是主音改为 A。
宫调式与羽调式是本配方最常用的两种，二者用音完全相同，区别只在主音（对照 0-2 §1.5 关于"参照系必须声明"的规定）。

136.2 命题 136-1：五声音阶的音程含量#

命题 136-1（音程含量）
C 宫五声音阶的 \binom{5}{2} = 10 个音对中，各类音程（约化到一个八度内，取较小者）的个数为：

半音数	1	2	3	4	5	6
音程名称	小二度	大二度	小三度	大三度	纯四度	三全音
个数	0	3	2	1	4	0

小二度与三全音的个数均为 0。

证明：逐对枚举（半音值 \{0, 2, 4, 7, 9\}，音程取 \min(d,\ 12-d)）：

音对	(0,2)	(0,4)	(0,7)	(0,9)	(2,4)	(2,7)	(2,9)	(4,7)	(4,9)	(7,9)
d	2	4	7	9	2	5	7	3	5	2
音程	2	4	5	3	2	5	5	3	5	2

计数：2 出现 3 次，3 出现 2 次，4 出现 1 次，5 出现 4 次；1 与 6 各 0 次。合计 3+2+1+4 = 10 ✓ \blacksquare

命题 136-1 推论（本讲最实用的一条）
在五声音阶范围内写作时，规则 128-M 的 M1（不得与发声音构成上方小二度）自动满足。

证明：M1 禁止的是相距 1 个半音的音对；由本命题，五声音阶内不存在这样的音对 \blacksquare

故用五声音阶即兴时，旋律与和声之间的小二度核对可以完全省略。
这是五声音阶在即兴中最实用的性质——它把第 128–133 讲反复要做的核对工作降为零。

一处必须说清的限制
本推论只对 M1 成立，且只在不混入调外音时成立。
M2（同名异高的对斜）在五声范围内也自动满足，因为五声音阶的五个音全部是本位音，不含任何升降号。
一旦混入 F 或 B（C 宫五声之外的两个音），本推论立即失效（规则 136-A 第 3 条）。

136.3 命题 136-2 与 136-3：没有导音，也没有属和弦#

命题 136-2（导音的缺席）
大调音阶的第 7 级到主音相距 1 个半音，称为导音（第 1-1 章）。
C 宫五声音阶 \{0, 2, 4, 7, 9\} 不含第 7 级（11）；集合中最接近主音（12）的音是第 6 级（9），相距 3 个半音。
故五声音阶没有导音 \blacksquare

命题 136-3（可构成的三和弦恰有两个）
在 C 宫五声音阶 \{C, D, E, G, A\} 内，由集合中的音按三度叠置构成的三和弦恰有两个：C（C–E–G）与 Am（A–C–E）。

证明：以集合中每个音为根音，逐一检查其三音与五音是否也在集合内：

根音	所需的三音与五音	是否都在集合内	结论
C	E、G	是 ✓	C ✓
D	F、A	F ∉ 集合 ✗	无
E	G、B	B ∉ 集合 ✗	无
G	B、D	B ∉ 集合 ✗	无
A	C、E	是 ✓	Am ✓

恰有两个 \blacksquare

命题 136-3 推论（本配方与第 4 板块的分界）
五声音阶中构不成 G（缺 B），因而构不成 C 大调的 V，也构不成 V7。
故在五声范围内不存在正格终止（第 103 讲），也不存在第 4-4 章意义上的转调（命题 130-2 要求 V7(Y)）。

	第 101–134 讲	本配方
基础	功能和声（T–S–D–T）	放弃功能和声
段落结束的标志	终止式（第 103 讲）	回到宫音或羽音的长音 ＋ 密度骤降
和弦候选	顺阶三和弦、七和弦、调外和弦	两个三和弦，或纯四度／纯五度／sus2

这是本教程第一次、也是唯一一次主动放弃功能和声。
放弃的理由不是"功能和声不好"，而是"五声音阶提供不了它所需的材料"——这是一个可证的事实，不是风格偏好。

136.4 命题 136-4：五声内的平行进行#

术语说明｜阶内音级差
指两个声部在音阶中相隔的音级数，而不是实际的度数。
例如在 C 宫五声中，C 与 E 的阶内音级差为 2（中间隔一个 D），而它们的实际音程是大三度（4 个半音）。
本教程在五声语境中一律用阶内音级差描述平行进行，因为五声音阶的音级间距不均匀，用"度数"会产生歧义。

命题 136-4（五声内的平行进行不产生小二度或三全音）
设两个声部在 C 宫五声音阶内作平行移动，恒保持阶内音级差 k。则两声部的实际音程取值为：

k	实际半音数的取值	逐位核对（下声部 C / D / E / G / A）
1	2 或 3	C→D 2、D→E 2、E→G 3、G→A 2、A→C 3
2	4 或 5	C→E 4、D→G 5、E→A 5、G→C 5、A→D 5
3	7 或 8	C→G 7、D→A 7、E→C 8、G→D 7、A→E 7
4	9 或 10	C→A 9、D→C 10、E→D 10、G→E 9、A→G 10

四行中均不出现 1 与 6。

证明：平行进行的每一个瞬时音程，都是音阶内某两个音之间的音程；由命题 136-1，音阶内不存在 1 与 6 两类音程 \blacksquare

命题 136-4 推论（平行进行在此是安全的）
在五声范围内作任意阶内音级差的平行进行，无需逐点核对小二度与三全音。
这与第 129 讲 §129.4 的平行八度说明是同一类——平行进行在此是有意的手法，不是写作疏忽；且此处还有命题 136-1 的保证。

k = 3（实际为纯五度或小六度）与 k = 2（大三度或纯四度）是本配方最常用的两种。

136.5 配方 136-R：古老#

配方 136-R

	参量	设定	可核对判据
①	音区 R	左手 C2–C4，右手 C4–C6；中音区照常使用（与配方 135-R 相反）	最低音 \ge 36，最高音 \le 84
②	密度 D	每小节 4–8 次（两手合计）	数 X，逐小节在区间内
③	声部数 V	2–4	逐单位数音
④	和弦类型 C	纯四度／纯五度／sus2，或命题 136-3 的两个三和弦；不用任何七和弦，不用 V7	和弦符号中无 7、9、11、13
⑤	调式 M	五声音阶（宫调式或羽调式）；用音严格限于五个	列出音集，恰为 5 个音，且不含 F 与 B
⑥	速度 T	♩ = 60–76	读谱头
⑦	力度 P	mp–mf	读力度记号
⑧	踏板 S	每小节换一次	读踏板记号

该配方各项的依据：

八项中有两项（④⑤）完全由命题支持，六项属经验。
对照配方 135-R（四项可证、四项经验）：本配方可证的项更少，但可证的那两项更强——它们不是"建议"，而是"物理上只能如此"（五声音阶中根本不存在 V7）。

136.6 规则 136-A#

规则 136-A（五声写作的三条）

1. 放弃功能和声，并改用新的段落结束标志。
   由命题 136-3 推论，本配方中不存在正格终止。不得用第 103 讲的终止式判定段落是否结束。
   替代标志：回到宫音（或羽音）的长音（\ge 2 拍）＋ 密度降至每小节 2 次以下。 两项须同时满足。
2. 平行进行是本配方的主要织体，不是错误（命题 136-4 推论）。
3. 不得混入调外音。
   一旦出现 F 或 B（C 宫五声之外的两个音），命题 136-1 至 136-4 全部失效，旋律与和声之间的小二度核对必须立即恢复。
   核对方式：通读全谱，检索是否出现 F 或 B（含任何升降形式）。

规则 136-A 第 3 条的一点说明
这不是说"加入 F 或 B 就错了"——加入之后它就不再是五声写作，而是普通的大／小调写作，须按第 128 讲规则 128-M 核对。
本条要求的是自觉：知道自己此刻在哪一套规则之下。

136.7 键盘实现#

① 左手：五声内的纯五度只有四个

由命题 136-3 的枚举方法，C 宫五声内可构成的纯五度（两音均在集合内，相距 7 个半音）为：

五度	下方音	上方音	半音差
C–G	C	G	7 ✓
D–A	D	A	7 ✓
G–D	G	D'	7 ✓
A–E	A	E'	7 ✓

E–B 不可用（B ∉ 集合）。故左手的低音只有 C、D、G、A 四个选择，不得以 E 为低音配纯五度。

② 右手：平行双音的手形固定

阶内音级差 k = 2（大三度或纯四度）    RH: 1 指与 3 指，手形不变，整体平移
阶内音级差 k = 3（纯五度或小六度）    RH: 1 指与 5 指，手形不变，整体平移

"手形不变"是本配方在技术上最省力的一点：由命题 136-4，平行移动时音程虽在两个值之间变动（如 4 与 5），但手指跨度的变化不超过 1 个半音，五指无需重新调整。

③ 踏板

每小节换一次。
判据仍是第 128 讲 §128.8 ③ 的那一条：踏板内是否会出现小二度。
由命题 136-1，五声音阶内不存在小二度，故一小节之内的音可以自由叠加。
但跨小节换和声时仍须换踏板——否则低音的纯五度会连续叠加，低音区浑浊。

136.8 谱例#

谱例二：C 宫五声与平行阶内三度

X:82
T:136-1 C 宫五声与平行阶内三度（原创）
M:4/4
L:1/8
Q:1/4=69
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:C
V:RH
[ce]2 [dg]2 [ea]2 [dg]2 | [ea]2 [gc']2 [ea]4 | [dg]2 [ea]2 [gc']2 [ea]2 | [dg]2 [ce]2 [dg]4 | [ce]2 [dg]2 [ea]2 [gc']2 | [gc']2 [ea]2 [dg]4 | [dg]2 [ea]2 [dg]2 [ce]2 | [ce]8 |]
V:LH
[C,,G,,]8 | [A,,E,]8 | [G,,D,]8 | [D,,A,,]8 | [C,,G,,]8 | [A,,E,]8 | [G,,D,]8 | [C,,G,,]8 |]

谱例说明（ABC 八度记号见 0-2 §9）：

小节	左手纯五度	半音值	差	右手的平行双音
1	C2 ＋ G2	36, 43	7 ✓	C5–E5 / D5–G5 / E5–A5 / D5–G5
2	A2 ＋ E3	45, 52	7 ✓	E5–A5 / G5–C6 / E5–A5
3	G2 ＋ D3	43, 50	7 ✓	D5–G5 / E5–A5 / G5–C6 / E5–A5
4	D2 ＋ A2	38, 45	7 ✓	D5–G5 / C5–E5 / D5–G5
5	C2 ＋ G2	36, 43	7 ✓	C5–E5 / D5–G5 / E5–A5 / G5–C6
6	A2 ＋ E3	45, 52	7 ✓	G5–C6 / E5–A5 / D5–G5
7	G2 ＋ D3	43, 50	7 ✓	D5–G5 / E5–A5 / D5–G5 / C5–E5
8	C2 ＋ G2	36, 43	7 ✓	C5–E5（全音符）

右手的全部双音都是阶内音级差 k = 2，实际音程为 4 或 5 个半音（命题 136-4 第 2 行）：
C5–E5 = 4；D5–G5 = 5；E5–A5 = 5；G5–C6 = 5 ✓ 四种双音，取值只出现 4 与 5 ✓

八项判据逐项核对：

项	判据	本谱例	结果
①	最低音 \ge 36，最高音 \le 84	最低 C2 = 36，最高 C6 = 84	✓
②	每小节 4–8 次	逐小节为 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 2	第 8 小节为 2 ✗
③	V = 2–4	每单位 4 个音（左 2 ＋ 右 2）	✓
④	无 7／9／11／13	全部为纯五度与阶内双音	✓
⑤	恰 5 个音，无 F 与 B	用音 \{C, D, E, G, A\}	✓
⑥	♩ = 60–76	♩ = 69	✓
⑦	mp–mf	全曲 mf	✓
⑧	每小节换踏板	8 次	✓

第 ② 项在第 8 小节不满足，这是有意的：第 8 小节正是规则 136-A 第 1 条所要求的段落结束标志——回到宫音 C 的长音（4 拍）＋ 密度降至 2 次。
故这不是违反配方，而是配方与规则 136-A 第 1 条的交界处。 谱例其余七小节的第 ② 项全部满足。

建议的对照练习：

1. 只弹左手，四个纯五度各 8 次，♩ = 69——确认每个都是 7 个半音，且不出现以 E 为低音的五度（§136.7 ①）。
2. 只弹右手，把全谱的双音按 k = 2 改为 k = 3（C5–G5、D5–A5、E5–C6、G5–D6、A5–E6），演奏两遍——音程变为 7 或 8，手形由 1-3 改为 1-5，但仍不出现 1 与 6（命题 136-4 第 3 行）。
3. 反例（规则 136-A 第 3 条）：把第 3 小节右手的 [ea] 改为 [fb]（F5–B5），演奏两遍——引入了 F 与 B，二者构成三全音（6 个半音）；命题 136-1 至 136-4 全部失效。
4. 反例（命题 136-3 推论）：在第 7 小节强行插入 G7（低音 G2，右手 B4–D5–F5），演奏两遍——为构成 V7 必须同时引入 B 与 F；说出此时还剩几个五声音（答案：五声写作已经结束）。

练习

练习 136-1　五声音阶

项	内容
练习内容	① 写出五声音阶的五个音级、唱名与 C 宫的实际音；② 写出相邻音的半音差序列；③ 写出 a 羽调式的音集，说明它与 C 宫的关系；④ 写出 D 宫、G 宫、F 宫三个五声音阶的音集
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 1 2 3 5 6／宫商角徵羽／C D E G A；② 2, 2, 3, 2, 3；③ 音集相同，主音改为 A；④ D 宫 \{D, E, F\sharp, A, B\}；G 宫 \{G, A, B, D, E\}；F 宫 \{F, G, A, C, D\}

练习 136-2　命题 136-1

项	内容
练习内容	① 笔算：枚举 10 个音对，算出各自的音程；② 填写六格的音程含量表；③ 写出命题 136-1 推论及其证明；④ 说明该推论在什么条件下失效
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 10 对全对；② 0, 3, 2, 1, 4, 0；③ M1 自动满足，因为集合内无相距 1 个半音的音对；④ 混入 F 或 B 时

练习 136-3　命题 136-2 与 136-3

项	内容
练习内容	① 证明命题 136-2；② 笔算：按命题 136-3 的方法枚举五个根音，写出完整的五行表；③ 说明为什么构不成 V7；④ 填写"本配方与第 4 板块"的三行对照表
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 最接近主音的是第 6 级，相距 3 个半音；② 五行全对，只有 C 与 A 成立；③ V7 需要 B（三音）与 F（七音），两个都不在集合内；④ 三行全对

练习 136-4　命题 136-4

项	内容
练习内容	① 笔算：对 k = 1, 2, 3, 4 逐位核对五个下声部，填出四行取值表；② 证明命题 136-4；③ 说出哪两个 k 值最常用及其实际音程；④ 说明"手形不变"的技术含义
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 四行 20 格全对；② 引用命题 136-1；③ k=2（4 或 5）与 k=3（7 或 8）；④ 跨度变化不超过 1 个半音，五指无需重新调整

练习 136-5　配方 136-R 的默写与依据

项	内容
练习内容	① 默写配方 136-R 的八项设定与八条判据；② 默写参量依据表，逐项标出可证／经验；③ 统计可证与经验各几项；④ 与配方 135-R 的统计对照，说出两者的差别
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 八行全对；② 六行全对；③ 两项可证、六项经验；④ 135-R 是四／四；本配方可证的项更少，但更强——五声中根本不存在 V7

练习 136-6　键盘：左手与右手分练

项	内容
练习内容	① 左手四个纯五度各 8 次；② 右手 k = 2 的五个双音上行下行各 8 遍；③ 右手改 k = 3 再各 8 遍；④ 合手演奏谱例二 8 遍
速度	♩ = 69 起步，递进至 ♩ = 96
数量	①②③ 各 8 次／遍；④ 8 遍
达标判定	① 全部 7 个半音，且无 E 为低音者；② 音程为 4 或 5，手形不变；③ 音程为 7 或 8，手形不变；④ 合手无中断，全程无 F 与 B

练习 136-7　规则 136-A 与两个反例

项	内容
练习内容	① 默写规则 136-A 的三条；② 说明本配方的段落结束标志及其两项要求；③ 做"建议的对照练习"第 3、4 项；④ 说明第 3 条为什么不是"加入 F 或 B 就错了"
速度	♩ = 69 固定
数量	一次完成 + 反例各 2 遍
达标判定	① 三条全对；② 宫音或羽音的长音 \ge 2 拍 ＋ 密度降至每小节 2 次以下，两项同时满足；③ 能听出三全音，并说出五声写作已结束；④ 加入后换了一套规则，须按规则 128-M 核对

练习 136-8　自作一段（羽调式）

项	内容
练习内容	① 用 a 羽调式（音集 \{A, C, D, E, G\}）自作 8 小节，符合配方 136-R 全部八项；② 左手只用该音集内可构成的纯五度，先把它们全部列出；③ 右手用 k = 2 或 k = 3 的平行双音；④ 末小节按规则 136-A 第 1 条收束，逐项核对八条判据
速度	♩ = 60–76 自选，固定
数量	8 遍
达标判定	① 8 小节完整；② 可用纯五度为 A–E、C–G、D–A、G–D（E–B 不可用）；③ 音程全部在命题 136-4 的取值内；④ 末小节回到羽音 A 的长音且密度 \le 2

达标自检

• 我能写出五声音阶的音级、唱名与相邻半音差序列。
• 我能说出宫调式与羽调式的关系。
• 我能复述并证明命题 136-1，默写音程含量的六个数字。
• 我能说出命题 136-1 推论，及它在即兴中最实用的后果。
• 我能说出该推论在什么条件下失效。
• 我能复述并证明命题 136-2。
• 我能复述并证明命题 136-3，写出完整的五行枚举表。
• 我能说出五声写作为什么必须放弃功能和声，并说出替代的段落结束标志。
• 我能复述并证明命题 136-4，默写四行取值表。
• 我能说出五声内可构成的四个纯五度，以及为什么 E–B 不可用。
• 我能默写配方 136-R 的八项设定与八条判据。
• 我能说出本配方可证与经验各几项，并与配方 135-R 对照。
• 我能复述规则 136-A 的三条。
• 我已完成谱例二的演奏与四条对照练习。
• 我已在羽调式上自作一段，八项判据全部满足。

常见错误

第 137 讲　如何用钢琴表达伤感的感觉#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）复述并证明命题 137-1（下行比例与净位移），写出下行比例 \rho 的定义，并复述那个反例；（2）复述命题 137-2（挂留的未解决时长）；（3）复述命题 137-3（固定根音半音下行是本配方的标准载体）；（4）默写配方 137-R 的九项设定与参量依据表；（5）说出本配方为什么需要一个八参量之外的量；（6）默写规则 137-A 的三条，特别是配方 135-R 与 137-R 的五项对照表；（7）演奏谱例并通过九项执行核对。

理论

137.1 "伤感"与"孤独"不是程度差别#

本讲开头必须先处理一个混淆。
"伤感"与"孤独"（第 135 讲）在日常语言中是相近的词，容易被当作同一方向上的两个程度。
在八参量坐标系中，二者的多数参量方向相反。

七项中五项方向相反，两项相近。
故不能用"比孤独更伤感一点"这类说法在两个配方之间过渡——它们不在同一条轴上。
这正是建立八参量坐标系的价值：两个模糊的词，在坐标系中成为两组可以逐项比较的具体设定。

137.2 命题 137-1：下行比例#

本配方需要一个八参量之外的量。
§135.2 的八个参量描述的是音响的配置，不描述旋律的走向。
第 137 与 138 两讲各需补一个旋律参量：本讲补"下行比例 \rho"，第 138 讲补"跳进比例 \sigma"。
第 140 讲的对比表会把补充参量一并列出。

术语说明｜下行比例（本教程定义）
设一条旋律的相邻音对中，音高发生改变的共 m 对（同音反复不计入），其中下行 m_\downarrow 对、上行 m_\uparrow 对，m_\downarrow + m_\uparrow = m。定义

\rho \;=\; \frac{m_\downarrow}{m}

\rho 可由谱面直接数出，取值范围 0 \le \rho \le 1。
"同音反复不计入"这一条必须照做——否则长音与重复音会把 \rho 稀释到 0.5 附近，失去区分力。

命题 137-1（下行比例与净位移）
设旋律末音与首音的半音差为 \Delta（末音减首音）。则

\Delta \;=\; \sum_{\text{上行}} s_k \;-\; \sum_{\text{下行}} s_k

其中 s_k 为各变化音程的半音数。
特别地，若所有变化音程的大小同为 s 个半音，则

\Delta \;=\; m\,s\,(1 - 2\rho)

此时 \rho > 0.5 \iff \Delta < 0，即旋律整体下行。

证明：净位移等于全部上行量之和减去全部下行量之和。
等大小时，上行总量 = m_\uparrow s = m(1-\rho)s，下行总量 = m_\downarrow s = m\rho s。
作差得 \Delta = m(1-\rho)s - m\rho s = m\,s\,(1-2\rho) \blacksquare

数值核对：\rho = 0.6、m = 10、s = 2 ⇒ \Delta = 10 \times 2 \times (1 - 1.2) = -4 个半音，末音比首音低一个大三度 ✓

命题 137-1 的边界（一个必须记住的反例）
音程大小不相等时，\rho > 0.5 并不保证 \Delta < 0。

反例：三个下行小二度（各 1 个半音）与一个上行纯五度（7 个半音）。
m = 4，m_\downarrow = 3 ⇒ \rho = 0.75 > 0.5；
而 \Delta = 7 - (1+1+1) = +4 > 0 ⇒ 旋律整体上行 ✓

故 \rho 度量的是"方向的倾向"，\Delta 度量的是"净位移"。二者是两个独立的量，必须分别核对。
配方 137-R 因此同时要求 \rho \ge 0.6 与 \Delta \le -3。

137.3 命题 137-2 与 137-3#

命题 137-2（挂留的未解决时长）
由第 125 讲命题 125-1，sus4 成立的必要条件是三音不发声。
设某个 sus4 持续 t 拍后解决到三音（第 124 讲命题 124-4）。则在这 t 拍之内，决定大小调性质的三音（第 2-1 讲）缺席，和弦的调式归属未定。
故 t 越大，"归属未定"的状态持续越久。

证明：三音是区分大三和弦与小三和弦的唯一音（0-2 §3.1：大三 0-4-7，小三 0-3-7）；它不发声时，两者无法区分 \blacksquare

本配方取 t \ge 2 拍，即挂留至少占半小节。这是一个可数的量，不是印象。

命题 137-3（本配方的标准载体）
由第 128 讲命题 128-2，在小三和弦上的固定根音半音下行段为

\text{`Am`} \to \text{`AmMaj7`} \to \text{`Am7`} \to \text{`Am6`}

其下行声部为 A – G\sharp – G – F\sharp（半音值 69, 68, 67, 66）。
该段同时满足本配方的三项要求：

要求	该段是否满足	核对
旋律下行（\rho 高）	✓	三个音程全部下行，\rho = 1
音程尽可能小	✓	每步恰 1 个半音，为最小可能
和弦音数 \ge 4	✓	四个和弦中三个为七和弦或六和弦

故它是配方 137-R 的标准载体 \blacksquare

本命题不引入新内容，它只是指出第 128 讲已证的一个结构恰好满足本配方的三项要求。

137.4 配方 137-R：伤感#

配方 137-R（九项——第 ⑨ 项是八参量之外的旋律参量）

	参量	设定	可核对判据
①	音区 R	左手 C2–C4，右手 G3–C6；中音区照常使用	最低音 \ge 36，最高音 \le 84
②	密度 D	每小节 6–12 次	数 X，逐小节在区间内
③	声部数 V	4–5，且 \bar{d} \le 8（密声位）	逐单位数音并算 \bar{d} = W/(V-1)
④	和弦类型 C	七和弦与九和弦为主；每 4 小节至少出现一次 sus4，且挂留 t \ge 2 拍	数和弦符号；数挂留拍数
⑤	调式 M	自然小调，可借用和声／旋律小调的第 6、7 级（即命题 128-2 的固定根音下行）	列出音集
⑥	速度 T	♩ = 56–72	读谱头
⑦	力度 P	p–mp	读力度记号
⑧	踏板 S	每和声单位换一次	读踏板记号
⑨	下行比例 \rho	\rho \ge 0.6 且 \Delta \le -3	数变化音对（同音反复不计），算 \rho；算末音减首音

该配方各项的依据：

九项中有五项由命题支持，四项属经验。
三个配方的可证比例：135-R 四／八，136-R 二／八，137-R 五／九。
本配方是本章可证部分最多的一个，原因是它大量复用第 128 讲与第 135 讲已证的结构。

137.5 规则 137-A#

规则 137-A（三条）

1. 不得把配方 137-R 当作配方 135-R 的"加强版"。
   由 §137.1 的对照表，七项中五项方向相反。若要在同一首作品中先后使用两个配方，必须整组切换，不得逐项渐变。
2. 挂留必须真正未解决 \ge 2 拍。
   三音一旦发声，挂留即失效（命题 125-1）。核对方式：在 sus4 的持续区间内检索三音，须为零次。
3. \rho 与 \Delta 必须数出来，不得凭印象，且必须分别核对。
   由命题 137-1 的反例，\rho 达标不蕴含 \Delta 达标。

137.6 键盘实现#

① 密声位的手形

V = 5（左手 2 ＋ 右手 3），平均间距 ≤ 8
LH: 5 指与 1 指，跨度约一个纯五度（7 个半音）
RH: 1-2-5 或 1-3-5，跨度不超过一个八度
两手之间：左手最高音与右手最低音相距不超过一个八度 ← 这是平均间距 ≤ 8 的实际操作方式

与配方 135-R 的对照：那里两手之间必须隔开一个中音区（\bar{d} \ge 12）；这里两手必须靠拢。
同一双手，两种完全不同的空间关系。

② 固定根音下行的手指

RH: C4(1 指) E4(2 指) 与顶部声部(5 指)
顶部声部依次为 A4 → G#4 → G4 → F#4，只动 5 指
1 指与 2 指全程不离键

核对：若 1 指或 2 指在换和弦时抬起，说明手形不稳；本段应当只有一个手指在动。

③ 踏板

每和声单位换一次（与第 128 讲半音下行段相同，与配方 135-R 相反）。
理由：\bar{d} \le 8，相邻声部靠得近，且下行声部每步只移 1 个半音；踏板不换会立即产生小二度。
这与配方 135-R 可用长踏板的理由是同一条判据的两个方向（§135.7 ③）。

137.7 谱例#

谱例三：a 小调固定根音半音下行与下行主导旋律

X:83
T:137-1 a 小调固定根音半音下行与下行主导旋律（原创）
M:4/4
L:1/8
Q:1/4=63
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:Am
V:RH
[CEA]4 [CEA]4 | [CE^G]4 [CE^G]4 | [CEG]4 [CEG]4 | [CE^F]4 [CE^F]4 | [CDF]4 [CDF]4 | [A,B,E]4 [A,B,E]4 | [^G,B,D]4 [^G,B,D]4 | [A,CE]8 |]
V:LH
A,,2 E,2 A,,2 E,2 | A,,2 E,2 A,,2 E,2 | A,,2 E,2 A,,2 E,2 | A,,2 E,2 A,,2 E,2 | D,,2 A,,2 D,,2 A,,2 | E,,2 B,,2 E,,2 B,,2 | E,,2 B,,2 E,,2 B,,2 | A,,2 E,2 A,,4 |]

谱例说明：

小节	左手	右手	全部发声的音	和弦	顶部声部
1	A2 E3	C4 E4 A4	A, E, C, E, A	Am	A4 = 69
2	A2 E3	C4 E4 G\sharp4	A, E, C, E, G\sharp	AmMaj7	G\sharp4 = 68
3	A2 E3	C4 E4 G4	A, E, C, E, G	Am7	G4 = 67
4	A2 E3	C4 E4 F\sharp4	A, E, C, E, F\sharp	Am6	F\sharp4 = 66
5	D2 A2	C4 D4 F4	D, A, C, D, F	Dm7	F4 = 65
6	E2 B2	A3 B3 E4	E, B, A, B, E	Esus4	E4 = 64
7	E2 B2	G\sharp3 B3 D4	E, B, G\sharp, B, D	E7	D4 = 62
8	A2 E3	A3 C4 E4	A, E, A, C, E	Am	E4 = 64

第 1–4 小节是命题 128-2 的固定根音半音下行：顶部 69, 68, 67, 66，步长恒为 -1 ✓
第 6→7 小节是挂留的解除（第 124 讲命题 124-4）：四音 A3 \to 三音 G\sharp3，下行 1 个半音 ✓
第 7→8 小节是正格终止：导音 G\sharp3 \to A3（上行 1）✓、七音 D4 \to C4（下行 2）✓、B3 \to C4（上行 1）✓

九项判据逐项核对：

项	判据	本谱例	结果
①	最低 \ge 36，最高 \le 84	最低 D2 = 38，最高 A4 = 69	✓
②	每小节 6–12 次	左手 4 ＋ 右手 2 = 6（第 8 小节为 3＋1）	✓（第 8 小节为收束）
③	V = 4–5 且 \bar{d} \le 8	第 1 小节 V=5、W = 69-45 = 24、\bar{d} = 6	✓
④	每 4 小节至少一次 sus4，t \ge 2	第 6 小节 Esus4，持续 4 拍	✓
⑤	自然小调 ＋ 第 6、7 级借用	用音含 G 与 G\sharp、F 与 F\sharp	✓
⑥	♩ = 56–72	♩ = 63	✓
⑦	p–mp	全曲 p	✓
⑧	每和声单位换踏板	8 次（每小节一个和声单位）	✓
⑨	\rho \ge 0.6 且 \Delta \le -3	见下	✓

第 ⑨ 项的计算（顶部声部，共 15 次击键）：
音高序列 69, 69, 68, 68, 67, 67, 66, 66, 65, 65, 64, 64, 62, 62, 64
去掉同音反复后的变化音对：-1,\ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ -2,\ +2 ⇒ m = 7
m_\downarrow = 6，m_\uparrow = 1 ⇒ \rho = 6/7 \approx \mathbf{0.857} \ge 0.6 ✓
\Delta = 64 - 69 = \mathbf{-5} \le -3 ✓
两项分别核对，均达标（规则 137-A 第 3 条）。

第 6 小节右手有一次把位下移（由 C4–D4–F4 移至 A3–B3–E4）。
这是 Esus4 的用音 \{E, A, B\} 在该音区内的唯一可行排列——要保持顶部声部继续下行至 E4，右手必须整体下移。
本教程如实标出，不视为瑕疵：配方的第 ⑨ 项优先于手形的连贯。

建议的对照练习：

1. 只弹第 1–4 小节，16 遍，♩ = 63——核对右手 1 指与 2 指全程不离键，只有 5 指在动（§137.6 ②）。
2. 破坏第 ⑧ 项：全曲只在第 1、5 小节换两次踏板，演奏两遍——第 2 小节起 G\sharp4 与 A4 同时留响，构成小二度；这正是 §137.6 ③ 所说的理由。
3. 破坏第 ③ 项：把左手整体下移一个八度（A2→A1、E3→E2 等），演奏两遍——第 1 小节的 W 由 24 增至 36，\bar{d} 由 6 增至 9，已超出配方上限；说出它此时更接近哪一个配方。
4. 破坏第 ④ 项：把第 6 小节的 Esus4 改为 E7（右手 G\sharp3–B3–D4），演奏两遍——挂留消失，t = 0；第 6–7 小节变为同一个和弦重复两小节。
5. \rho 的反例实验：把第 8 小节的顶部音由 E4 改为 A4（69），重算 \rho 与 \Delta——\rho 仍为 6/7，而 \Delta = 69-69 = 0，第 ⑨ 项的后半不再满足；这正是命题 137-1 边界所说的情形。

练习

练习 137-1　两个配方的区分

项	内容
练习内容	① 默写配方 135-R 与 137-R 的七行对照表；② 统计方向相反与相近的项数；③ 说明为什么不能用"更伤感一点"在两者间过渡；④ 说明建立八参量坐标系的价值
速度	—
数量	一次完成
达标判定	① 七行全对；② 五项相反、两项相近；③ 二者不在同一条轴上；④ 两个模糊的词成为两组可逐项比较的具体设定

练习 137-2　命题 137-1

项	内容
练习内容	① 写出 \rho 的定义，说明"同音反复不计入"的理由；② 笔算：证明命题 137-1 的等大小情形；③ 用 \rho = 0.6、m = 10、s = 2 核对 \Delta；④ 复述那个反例并重算 \rho 与 \Delta
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 否则长音与重复音会把 \rho 稀释到 0.5 附近；② \Delta = m s (1-2\rho)；③ \Delta = -4；④ 三个下行小二度 ＋ 一个上行纯五度，\rho = 0.75 而 \Delta = +4

练习 137-3　命题 137-2 与 137-3

项	内容
练习内容	① 证明命题 137-2；② 说明为什么三音是决定大小调性质的唯一音；③ 写出命题 137-3 的三行核对表；④ 说明命题 137-3 为什么"不引入新内容"
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 引用命题 125-1；② 大三 0-4-7 与小三 0-3-7 只差三音；③ 三行全对（\rho = 1；每步 1 个半音；三个和弦音数 \ge 4）；④ 它只指出第 128 讲已证的结构恰好满足本配方的要求

练习 137-4　配方 137-R 的默写与依据

项	内容
练习内容	① 默写配方 137-R 的九项设定与九条判据；② 默写参量依据表；③ 统计可证与经验各几项，并与 135-R、136-R 对照；④ 说明本配方为什么需要第 ⑨ 项
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成，允许一次重做
达标判定	① 九行全对；② 六行全对；③ 五／九；135-R 四／八，136-R 二／八；④ 八参量不描述旋律走向

练习 137-5　键盘：固定根音下行

项	内容
练习内容	① 只弹谱例三第 1–4 小节，16 遍；② 核对 1 指与 2 指是否离键；③ 把同一段移到 d 小调与 e 小调，各 8 遍；④ 写出两个调中的四个和弦符号
速度	♩ = 63 起步，递进至 ♩ = 84
数量	① 16 遍；③ 各 8 遍
达标判定	① 顶部声部逐步下行 1 个半音，无停顿；② 全程不离键；③ 移调准确；④ d 小调为 Dm／DmMaj7／Dm7／Dm6；e 小调为 Em／EmMaj7／Em7／Em6

练习 137-6　九项判据的核对

项	内容
练习内容	① 按谱例三演奏 8 遍；② 逐项核对九条判据并填表；③ 独立计算第 ⑨ 项的 \rho 与 \Delta（不看教程的结果）；④ 算出第 1、5、6、8 四个小节的 \bar{d}
速度	♩ = 63 固定
数量	8 遍
达标判定	① 合手无中断；② 九项全部满足；③ \rho = 6/7 \approx 0.857，\Delta = -5；④ 分别为 6、6.75、6、4.75，全部 \le 8 ✓

练习 137-7　五条对照练习

项	内容
练习内容	① 做"建议的对照练习"五项；② 对第 2、3、4 项，写出被破坏的判据与其数值变化；③ 对第 5 项，重算 \rho 与 \Delta；④ 说明第 3 项破坏后更接近哪一个配方
速度	♩ = 63 固定
数量	各 2 遍
达标判定	① 五项完成；② 第 2 项 ⑧ 不满足并出现小二度；第 3 项 \bar{d} 由 6 增至 9；第 4 项 t 由 4 变 0；③ \rho 不变为 6/7，\Delta 由 -5 变 0；④ 更接近配方 135-R（间距变大）

练习 137-8　自作一段

项	内容
练习内容	① 换一个小调（b 小调或 f\sharp 小调），自作 8 小节，符合配方 137-R 全部九项；② 必须包含一次固定根音半音下行（4 小节）与一次挂留（t \ge 2 拍）；③ 逐项核对九条判据，并写出 \rho、\Delta 与各小节的 \bar{d}；④ 演奏 8 遍并录音回放
速度	♩ = 56–72 自选，固定
数量	8 遍
达标判定	① 8 小节完整；② 两项都有；③ 九项全部满足，三组数值全部算出；④ 能指出最偏离配方的一小节及其判据

达标自检

• 我能默写配方 135-R 与 137-R 的七行对照表，并说出五项相反、两项相近。
• 我能说出为什么"伤感"与"孤独"不是程度差别。
• 我能写出下行比例 \rho 的定义，并说出"同音反复不计入"的理由。
• 我能复述并证明命题 137-1 的等大小情形。
• 我能复述命题 137-1 的反例，并说出 \rho 与 \Delta 为什么必须分别核对。
• 我能复述并证明命题 137-2。
• 我能复述命题 137-3 的三行核对表。
• 我能默写配方 137-R 的九项设定与九条判据。
• 我能说出本配方为什么需要一个八参量之外的量。
• 我能说出三个配方的可证／经验比例（四／八、二／八、五／九）。
• 我能复述规则 137-A 的三条。
• 我能说出本配方的密声位与配方 135-R 的疏声位在手部空间关系上的差别。
• 我能说出本配方每单位换踏板与配方 135-R 长踏板为什么依据同一条判据。
• 我已完成谱例三的演奏，并独立算出 \rho、\Delta 与四个小节的 \bar{d}。
• 我已完成五条对照练习。
• 我已在另一个小调上自作一段，九项判据全部满足。

常见错误

第 138 讲　如何用钢琴表达喜悦的感觉#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）写出级进与跳进的定义与跳进比例 \sigma 的定义；（2）复述并证明命题 138-1（音高变化率的下界），并说出它统一了配方中的哪三项；（3）复述并证明命题 138-2（大七和弦上主音的可用性由声位决定），并说出它给出的操作规定；（4）复述并证明命题 138-3（只用大三和弦类时候选退回三个正三和弦）；（5）复述并证明命题 138-4（\rho 与 \sigma 互相独立）；（6）默写配方 138-R 的九项与参量依据表；（7）复述规则 138-A 的三条；（8）演奏谱例并通过九项执行核对。

理论

138.1 本讲补的旋律参量：跳进比例#

术语说明｜级进与跳进（step and leap）
本教程定义：相邻两音相距 1 或 2 个半音称为级进；相距 3 个半音或以上称为跳进。
界线取在 2 与 3 之间，与"大二度以内为级进、小三度以上为跳进"的通行划分一致（0-2 §2.2）。

术语说明｜跳进比例（本教程定义）
设一条旋律中音高发生改变的相邻音对共 m 对（同音反复不计入，与第 137 讲 \rho 的约定相同），其中跳进 m_J 对。定义

\sigma \;=\; \frac{m_J}{m}

\sigma 可由谱面直接数出，取值范围 0 \le \sigma \le 1。

第 137 讲补的是方向（\rho），本讲补的是幅度（\sigma）。
二者是旋律的两个独立维度——见命题 138-4。

138.2 命题 138-1：音高变化率的下界#

命题 138-1（音高变化率的下界）
设一条旋律以每拍 q 个音的密度、速度 BPM = B 演奏，其中音高发生改变的相邻音对共 m 对，跳进比例为 \sigma。
定义音高变化率 v 为单位时间内旋律走过的半音总数。则

v \;\ge\; \frac{q\,B\,(1 + 2\sigma)}{60}\quad \text{半音／秒}

证明：
(i) 全部变化音程的长度之和 L = \sum_k s_k。由定义，级进 s_k \ge 1，跳进 s_k \ge 3，故

L \;\ge\; m_S \cdot 1 + m_J \cdot 3 \;=\; m(1-\sigma) + 3m\sigma \;=\; m\,(1 + 2\sigma)

(ii) m 个音程所占的时间为 m 个音符时值，即 \dfrac{m}{q} 拍，合 T = \dfrac{60\,m}{q\,B} 秒。
(iii) v = L/T \ge \dfrac{m(1+2\sigma)\,q\,B}{60\,m} = \dfrac{q\,B\,(1+2\sigma)}{60} \blacksquare

数值核对：

核对第三行：2 \times 120 \times (1 + 1) / 60 = 480/60 = 8 ✓
核对第四行：4 \times 120 \times 2 / 60 = 960/60 = 16 ✓
核对第五行：4 \times 126 \times 2.6 / 60 = 1310.4/60 = 21.84 ✓

命题 138-1 推论（配方中三项的统一）
配方 138-R 的第 ② 项（密度 q）、第 ⑥ 项（速度 B）与第 ⑨ 项（跳进比例 \sigma）是同一个下界公式中的三个因子。
三者共同抬高同一个量 v。

这解释了规则 138-A 第 1 条为什么要求三项同时执行：
单独提高其中一个，v 只按该因子的倍数增加；由上表，q 由 2 增至 4 使 v 翻倍，而同时提高三项可使 v 增至 10 倍以上（第 1 行的 2 对第 5 行的 21.8）。

本命题不能说明什么
它给出的是一个可计算的下界，不是听感判断。
"v 大听起来欢快"是经验性说法，本教程不予证明。

138.3 命题 138-2 与 138-3：和弦类型的两条约束#

命题 138-2（大七和弦上主音的可用性由声位决定）
设 Cmaj7 的七音记作 B，旋律音为 C。由规则 128-M 的 M1：

旋律 C 与发声的 B 的关系	M1 是否触发	主音 C
恰在其上方 1 个半音（如 B4 与 C5）	触发	禁用 ✗
相距 13 个半音或更远（如 B3 与 C5）	不触发	可用 ✓

故 Cmaj7 上主音的可用性由声位决定，不由和弦符号决定 \blacksquare

核对：B4 = 71，C5 = 72，差 1 ⇒ M1 触发 ✓；B3 = 59，C5 = 72，差 13 ⇒ M1 不触发 ✓

命题 138-2 推论（一条操作规定）
若旋律要停在主音上，则须二者择一：

办法	做法	核对
①	把 maj7 的七音置于旋律下方一个八度以上	算旋律音与七音的半音差，须 \ge 13
②	改用 add9（不含七音）	Cadd9 = C–D–E–G，无 B ⇒ M1 与 M2 都不禁 C ✓

办法 ② 更稳妥，因为它不依赖声位。
这解释了 add9 为什么是流行钢琴中最常用的"明亮"和弦——它提供了色彩，又不挡住旋律的主音。

命题 138-3（只用大三和弦类时的候选集）
由 0-2 §1.6，自然大调的七个顺阶三和弦中，大三和弦恰有三个：I、IV、V；小三和弦三个（ii、iii、vi），减三和弦一个（vii°）。
故配方 138-R 第 ④ 项"只用大三和弦类"，使顺阶候选只剩 I、IV、V 三个 \blacksquare

推论（与第 4-1 章的关系）
这三个和弦正是第 4-1 章的正三和弦集合（命题 104-1）。

	候选集	限制的理由
第 4-1 章	I、IV、V	尚未学到更多
本配方	I、IV、V（＋其 add9／maj7／sus2 扩展）	有意排除小三和弦

两者的候选集相同，理由完全不同。 这不是倒退。

命题 138-4（\rho 与 \sigma 互相独立）
下行比例 \rho（第 137 讲）与跳进比例 \sigma（本讲）互不决定。

证明（构造）：四种极端组合均可实现：

\rho	\sigma	旋律的半音差序列	说明
0	0	+2,\ +2,\ +2	全部上行级进
0	1	+4,\ +4,\ +4	全部上行跳进
1	0	-2,\ -2,\ -2	全部下行级进
1	1	-4,\ -4,\ -4	全部下行跳进

四者都是合法的旋律，故 \rho 不决定 \sigma，\sigma 也不决定 \rho \blacksquare

推论：配方 137-R 约束方向，配方 138-R 约束幅度。二者约束的是旋律的两个不同维度，不冲突，也不互相蕴含。
故配方 138-R 不对 \rho 作任何要求——"喜悦"不要求旋律上行。

138.4 配方 138-R：喜悦#

配方 138-R（九项）

	参量	设定	可核对判据
①	音区 R	左手 C2–C4，右手 C4–C7（本章四个配方中最高最宽）	最低音 \ge 36，最高音 \le 96
②	密度 D	每小节 12–16 次	数 X，逐小节在区间内
③	声部数 V	4–6	逐单位数音
④	和弦类型 C	大三和弦、add9、maj7、sus2；不用小三和弦、减三和弦、sus4	和弦符号中无 m、dim、sus4
⑤	调式 M	自然大调	列出音集
⑥	速度 T	♩ = 100–138	读谱头
⑦	力度 P	mf–f	读力度记号
⑧	踏板 S	每和声单位换一次	读踏板记号
⑨	跳进比例 \sigma	\sigma \ge 0.4；\rho 不作要求（命题 138-4 推论）	数变化音对（同音反复不计），算 m_J/m

该配方各项的依据：

九项中有五项由命题支持，四项属经验。

本章四个配方的可证比例汇总：

配方	标签	可证／总数
135-R	孤独	4／8
136-R	古老	2／8
137-R	伤感	5／9
138-R	喜悦	5／9

138.5 规则 138-A#

规则 138-A（三条）

1. 第 ②（密度）、⑥（速度）、⑨（跳进比例）三项必须同时执行。
   理由：由命题 138-1，三者是同一个下界公式中的三个因子。只提高速度而不提高密度与跳进比例，v 只增加相应的倍数。
2. 旋律停在主音上时不得用 maj7（命题 138-2 推论）。改用 add9，或把七音置于旋律下方一个八度以上。
3. "不用小三和弦"是本配方的定义性限制，不是建议。
   一旦使用 ii、iii 或 vi，第 ④ 项即不满足。 此时应当换用别的配方，或明确承认这是一个混合（并在自检表中把第 ④ 项标为未满足）。不得当作"小问题"略过。

138.6 一处必须处理的冲突：配方与和弦走向#

规则 138-A 第 3 条会与第 3-1 章的多数和弦走向直接冲突。本节把它算清楚。

由命题 138-3，本配方的顺阶候选只有 I、IV、V。核对 0-2 §4 所列的 15 组走向：

结论：第 3-1 章的 15 组走向中，与配方 138-R 第 ④ 项相容的只有 1451 一组。

这是命题 138-3 的直接后果，不是巧合——15 组走向中只有 1451 完全由正三和弦构成。

三种处理办法：

办法	做法	代价
①（本教程采用）	换用 1451，并用 add9／sus2 提供色彩	走向的选择只剩一组
②	保留原走向，承认第 ④ 项不满足	配方不再完整，须在自检表中标明
③	把 vi 改为 V7/ii（A7，第 120 讲）	不成立——规则 120-A 要求 A7 解决到 Dm，而 1645 的下一个和弦是 F ✗

本教程采用办法 ①。 理由：第 ④ 项是定义性限制（规则 138-A 第 3 条），而走向可以更换。
办法 ③ 的失败值得记住——它说明配方之间的冲突不能靠"换个和弦符号"化解，必须回到规则本身核对。

138.7 键盘实现#

① 左手用大跳织体（第 65 讲）

每小节四拍：根音（低音区）→ 和弦（中音区）→ 五音（低音区）→ 和弦（中音区）
LH 根音：C2–G2        5 指
LH 和弦：E3–G4        1-2-3 或 1-3-5

与配方 135-R 的对照：那里禁止大跳织体（左手只弹纯五度，中音区留空）；这里要求大跳织体。
理由：大跳织体每小节产生 4 次击键，是达到第 ② 项（12–16 次）的主要来源。

② 右手用八分音符的跳进音型

每小节八个八分音符，音程以三度、四度、五度为主
基本型：根音 → 三音 → 五音 → 八度 → 十度 → 八度 → 五音 → 三音（一个"拱形"）

该拱形的半音差序列恒为 +4,\ +3,\ +5,\ +4,\ -4,\ -5,\ -3（大三和弦上）。
七个音程全部 \ge 3 个半音 ⇒ 该型单独的 \sigma = 1 ✓
故只要以此型为主，第 ⑨ 项自动满足。

③ 踏板与速度

每和声单位换一次。 在 ♩ = 126 时，一小节约 1.9 秒；换踏板的动作必须在新和弦发声后的一个十六分音符内完成（0-2 §7.3 的切分踏板），即约 0.12 秒。
若做不到，应先把速度降至 ♩ = 100（第 ⑥ 项的下限）练熟再提速，不得为了速度牺牲踏板。

138.8 谱例#

谱例四：C 大调 add9 与跳进主导旋律

X:84
T:138-1 C 大调 add9 与跳进主导旋律（原创）
M:4/4
L:1/8
Q:1/4=126
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:C
V:RH
c e g c' e' c' g e | f a c' f' a' f' c' a | g b d' g' b' g' d' b | c' e' g' e' c' g e c | c e g c' e' c' g e | f a c' f' a' f' c' a | g b d' g' b' g' d' b | c e g c' e' g' b' c'' |]
V:LH
C,,2 [E,G,D]2 G,,2 [E,G,D]2 | F,,2 [A,CG]2 C,2 [A,CG]2 | G,,2 [D,G,A,]2 D,2 [D,G,A,]2 | C,,2 [E,G,D]2 G,,2 [E,G,D]2 | C,,2 [E,G,D]2 G,,2 [E,G,D]2 | F,,2 [A,CG]2 C,2 [A,CG]2 | G,,2 [D,G,A,]2 D,2 [D,G,A,]2 | C,,2 [E,G,D]2 C,2 [E,G,D]2 |]

谱例说明：走向为 1451（§138.6 办法 ①），两遍，每遍 4 小节。

小节	左手低音	左手和弦	全部发声的音	和弦
1、4、5、8	C2 / G2	E3 G3 D4	C, G, E, G, D	Cadd9
2、6	F2 / C3	A3 C4 G4	F, C, A, C, G	Fadd9
3、7	G2 / D3	D3 G3 A3	G, D, D, G, A	Gsus2

三个和弦全部为大三和弦类（add9 与 sus2 均不含小三度）⇒ 第 ④ 项满足 ✓
三个和弦的根音为 C、F、G ⇒ 正是 I、IV、V（命题 138-3）✓

右手的拱形：第 1 小节为 C5–E5–G5–C6–E6–C6–G5–E5，半音值 72, 76, 79, 84, 88, 84, 79, 76。
半音差 +4,\ +3,\ +5,\ +4,\ -4,\ -5,\ -3——七个全部 \ge 3，均为跳进 ✓（§138.7 ②）

九项判据逐项核对：

项	判据	本谱例	结果
①	最低 \ge 36，最高 \le 96	最低 C2 = 36，最高 C7 = 96	✓
②	每小节 12–16 次	左手 4 ＋ 右手 8 = 12	✓
③	V = 4–6	和弦时刻为低音 ＋ 三音和弦 ＋ 旋律 = 5	✓
④	无 m／dim／sus4	Cadd9、Fadd9、Gsus2	✓
⑤	自然大调	用音 \{C, D, E, F, G, A, B\}	✓
⑥	♩ = 100–138	♩ = 126	✓
⑦	mf–f	全曲 f	✓
⑧	每和声单位换踏板	8 次	✓
⑨	\sigma \ge 0.4	见下	✓

第 ⑨ 项的计算（右手共 64 个音）：
段内音程：每小节 7 个，共 8 \times 7 = 56 个。
第 1–7 小节的音程全部为跳进（每小节 7 个）；第 8 小节末一个为 +1，故为 6 个跳进 ＋ 1 个级进。
⇒ 段内跳进 = 7 \times 7 + 6 = 55，级进 = 1。
跨小节音程：+1,\ -2,\ +1,\ 0,\ +1,\ -2,\ -11——其中一个为 0（第 4→5 小节，同音反复），不计入；余下 6 个中跳进 1 个（-11）、级进 5 个。
⇒ m = 56 + 6 = 62，m_J = 55 + 1 = 56

\sigma = \frac{56}{62} \approx \mathbf{0.903}\ \ge 0.4\ ✓

第 ⑨ 项不要求 \rho（命题 138-4 推论）。本谱例的 \rho 约为 0.5，既不下行主导也不上行主导 ✓ 与配方一致。

命题 138-2 的核对：本谱例不含任何 maj7（三个和弦均为 add9 或 sus2），故主音 C 在旋律中可自由使用 ✓ 第 1 小节起音即为 C5。

建议的对照练习：

1. 只弹右手的拱形，在 Cadd9、Fadd9、Gsus2 上各 16 次，♩ = 100 起步——核对每一个音程都 \ge 3 个半音。
2. 只弹左手的大跳，8 小节 16 遍——核对每小节恰 4 次击键，且和弦始终在 E3–G4 内。
3. 破坏第 ⑨ 项：把右手全部改为音阶级进（如第 1 小节改为 C5–D5–E5–F5–G5–F5–E5–D5），演奏两遍——\sigma 由 0.90 降至 0，v 的下界由 4 \times 126 \times 2.8/60 \approx 23.5 降至 4 \times 126 \times 1/60 = 8.4；说出音响的变化。
4. 破坏第 ⑥ 项：把速度降至 ♩ = 60，其余八项不变，演奏两遍——v 的下界减半。
5. 破坏第 ④ 项：把第 2 小节的 Fadd9 改为 Dm7（低音 D2、和弦 F3–A3–C4），演奏两遍——走向变为含 ii 的形态；按规则 138-A 第 3 条，此时应在自检表中把第 ④ 项标为未满足。
6. 命题 138-2 的实验：把第 1 小节的左手和弦由 E3–G3–D4 改为 E3–G3–B4（即 Cmaj7），右手仍以 C5 起音，演奏两遍——B4 与 C5 相距 1 个半音，M1 触发；再把 B4 改为 B3，相距 13 个半音，冲突消失 ✓

练习

练习 138-1　级进、跳进与 \sigma

项	内容
练习内容	① 写出级进与跳进的定义及界线；② 写出 \sigma 的定义，说明"同音反复不计入"的约定与第 137 讲是否一致；③ 对序列 +4, -2, +5, -1, +3, -2 算出 \sigma 与 \rho；④ 说明 \sigma 与 \rho 分别度量什么
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 1–2 为级进，\ge 3 为跳进；② 一致；③ m = 6，跳进 3 个（+4, +5, +3）⇒ \sigma = 0.5；下行 3 个 ⇒ \rho = 0.5；④ 幅度与方向

练习 138-2　命题 138-1

项	内容
练习内容	① 笔算：证明命题 138-1 的三步；② 核对表中五行的数值；③ 算出 q = 4、B = 138、\sigma = 0.9 时 v 的下界；④ 说明它统一了配方中的哪三项，以及规则 138-A 第 1 条的理由
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 三步完整；② 五行全对；③ 4 \times 138 \times 2.8 / 60 = 25.76；④ ②⑥⑨；三者是同一公式的三个因子

练习 138-3　命题 138-2

项	内容
练习内容	① 证明命题 138-2，核对 B4–C5 与 B3–C5 的半音差；② 写出推论的两条办法及各自的核对方式；③ 说明 add9 为什么比 maj7 稳妥；④ 键盘：做"建议的对照练习"第 6 项
速度	♩ = 100 固定
数量	一次完成 + 实验 2 遍
达标判定	① 1 与 13；② 七音置于旋律下方 \ge 13 个半音，或改用 add9；③ 后者不依赖声位；④ 能听出 B4 与 C5 的冲突，且 B3 时消失

练习 138-4　命题 138-3 与 138-4

项	内容
练习内容	① 证明命题 138-3；② 填写"第 4-1 章与本配方"的两行对照表，并说明为什么"这不是倒退"；③ 证明命题 138-4，写出四行构造表；④ 说明配方 138-R 为什么不约束 \rho
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 大调七个顺阶三和弦中大三恰三个；② 候选集相同而理由不同（尚未学到 / 有意排除）；③ 四行全对；④ \rho 与 \sigma 互不决定，"喜悦"不要求旋律上行

练习 138-5　配方与走向的冲突

项	内容
练习内容	① 独立核对 0-2 §4 的 15 组走向，逐组写出它含有的小三和弦；② 指出唯一相容的一组；③ 写出三种处理办法及各自的代价；④ 说明办法 ③ 为什么不成立
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 15 行全对；② 1451；③ 三行全对；④ 规则 120-A 要求 A7 解决到 Dm，而下一个和弦是 F

练习 138-6　配方 138-R 的默写

项	内容
练习内容	① 默写配方 138-R 的九项设定与九条判据；② 默写参量依据表；③ 默写本章四个配方的可证／总数汇总表；④ 复述规则 138-A 的三条
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成，允许一次重做
达标判定	① 九行全对；② 六行全对；③ 4／8、2／8、5／9、5／9；④ 三条全对

练习 138-7　键盘：拱形与大跳

项	内容
练习内容	① 做"建议的对照练习"第 1、2 项；② 合手演奏谱例四 8 遍；③ 逐项核对九条判据，独立计算 \sigma；④ 做对照练习第 3、4、5 项
速度	♩ = 100 起步，递进至 ♩ = 138
数量	② 8 遍
达标判定	① 拱形每个音程 \ge 3；大跳每小节 4 次且和弦在 E3–G4 内；② 合手无中断，踏板每小节换；③ 九项全部满足，\sigma \approx 0.90；④ 三项都能说出被破坏的判据与 v 的变化

练习 138-8　自作一段

项	内容
练习内容	① 换一个大调（G、F 或 D），用 1451 走向自作 8 小节，符合配方 138-R 全部九项；② 左手用大跳织体，右手用拱形；③ 逐项核对九条判据，算出 \sigma 与 v 的下界；④ 演奏 8 遍
速度	♩ = 100–138 自选，固定
数量	8 遍
达标判定	① 8 小节完整；② 左手每小节 4 次、右手每小节 8 次；③ 九项全部满足，\sigma \ge 0.4，v 的下界算出；④ 合手无中断

达标自检

• 我能写出级进与跳进的定义及其界线。
• 我能写出跳进比例 \sigma 的定义，并说出它与 \rho 分别度量什么。
• 我能复述并证明命题 138-1 的三步。
• 我能算出给定 q、B、\sigma 时 v 的下界。
• 我能说出命题 138-1 统一了配方中的哪三项，以及规则 138-A 第 1 条的理由。
• 我能复述并证明命题 138-2，核对 1 与 13 两个半音差。
• 我能说出 add9 为什么比 maj7 稳妥。
• 我能复述并证明命题 138-3，并说出"这不是倒退"的理由。
• 我能复述并证明命题 138-4，写出四行构造表。
• 我能独立核对 15 组走向，指出唯一与第 ④ 项相容的一组。
• 我能说出办法 ③（把 vi 改为 V7/ii）为什么不成立。
• 我能默写配方 138-R 的九项与参量依据表。
• 我能默写本章四个配方的可证／总数汇总表。
• 我能复述规则 138-A 的三条。
• 我已完成谱例四的演奏，并独立算出 \sigma。
• 我已完成六条对照练习。
• 我已在另一个大调上自作一段，九项判据全部满足。

常见错误

第 139 讲　如何用钢琴即兴写一首歌#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）说清"即兴写一首歌"与第 135–138 讲的产出有何不同；（2）复述方案 139-P 的五个步骤及其顺序；（3）复述并证明命题 139-1（决策量的压缩），并说出它对"即兴为什么可能"的解释；（4）复述并证明命题 139-2（走向长度必须整除段落长度），并默写 15 组走向按长度的分类；（5）复述并运用判据 139-A（段落配方的选择与密度约束）；（6）复述规则 139-A 的四条；（7）按方案 139-P 完成一首 32 小节作品的完整设计并演奏。

理论

139.1 本讲的产出#

本讲不引入任何新的音乐材料。
它引入的是一个决策顺序——把"写一首歌"这件无从下手的事，拆成五个各自有限的选择。

139.2 方案 139-P：五步流程#

方案 139-P（即兴写歌的五个步骤）
必须按顺序完成，不得跳步（规则 139-A 第 1 条）。

步	决定什么	从哪里选	出处
1	结构——段落序列与各段小节数	前奏／主歌／预副歌／副歌／间奏／桥段／尾奏	第 101 讲
2	调性布局——每段的调	记号 130-N；转调手段按判据 134-A	第 130、134 讲
3	和弦走向——每段一组	第 3-1 章的 15 组	第 3-1 章
4	配方——每段一个	配方 135-R／136-R／137-R／138-R	第 135–138 讲
5	织体与旋律	第 3-2 章的织体；旋律按该段配方的 \rho 或 \sigma	第 3-2 章、第 137–138 讲

为什么旋律排在最后
规则 139-A 第 1 条明确禁止"先想旋律"。
理由由命题 139-1 给出：前四步各自把决策量压到很小；若先定旋律，则前四步都要反过来迁就旋律，决策量回到逐小节的规模。

139.3 命题 139-1：决策量的压缩#

命题 139-1（决策量的压缩）
设一首歌有 P 个段落，每段 n 小节，每小节一个和声单位。

做法	和弦决策的次数
逐小节决定和弦	P \cdot n
按方案 139-P 每段定一个走向	P

决策量由 P n 降至 P，降低为原来的 1/n \blacksquare

数值：P = 6、n = 8 ⇒ 由 48 次降至 6 次 ✓

命题 139-1 推论（即兴为什么可能）
即兴之所以可能，不是因为演奏者思考得更快，而是因为决策量被结构压缩了。

五个步骤各自的决策量（以 P = 6 为例）：

步	决策次数	每次的候选数
1 结构	1	常见结构不超过 10 种（第 101 讲）
2 调性布局	\le 2（转调不超过 2 次，规则 130-A 第 4 条）	11 个目标调（命题 134-2）
3 走向	P = 6	15 组
4 配方	P = 6	4 个
5 织体	P = 6	第 3-2 章的若干种

总决策次数约 21 次，分布在整首歌的时间里。
对照"逐小节决定一切"的 48 次和弦 ＋ 48 次织体 ＋ 48 次力度，差别不在速度，在数量级。

139.4 命题 139-2：走向长度必须整除段落长度#

命题 139-2（重复次数与整除条件）
设某段落有 n 小节，所用走向的长度为 L 小节（即 L 个和声单位）。则该走向在段内的重复次数为

k \;=\; \frac{n}{L}

k 必须为正整数——否则走向会在段落中途被截断 \blacksquare

15 组走向按长度的分类（据 0-2 §4）：

命题 139-2 推论（8 小节段落的可用走向）
n = 8 时，L 必须整除 8，即 L \in \{1, 2, 4, 8\}。

L	可用？	重复次数 k	组数
4	可用 ✓	2	10
8	可用 ✓	1	2
3	不可用 ✗（8/3 非整数）	—	2
7	不可用 ✗（8/7 非整数）	—	1

故 8 小节的段落可直接使用 12 组走向，另 3 组（251、736、4536251）不能直接使用。

三组的处理办法：

办法	做法	例
① 延长	把最后一个和弦延长到填满段落	251 用于 8 小节：ii(2)–V(2)–I(4)
② 拼接	与另一走向合用	4536251(7) ＋ I(1) = 8
③ 改段长	把段落改为 L 的整数倍	251 用于 6 小节段落（k = 2）

139.5 判据 139-A：段落配方的选择#

判据 139-A（段落配方的选择与密度约束）

第一部分：按段落功能选配方

段落	通常的配方	理由
前奏	135-R 或 136-R（低密度）	为主歌留出上升空间
主歌	137-R（中密度）	为副歌留出对比空间
副歌	138-R（高密度）	全曲密度的最高点
间奏	与主歌相同	把密度拉回，为第二次副歌重新蓄势
桥段	与副歌相反的配方	桥段的作用是打断重复
尾奏	前奏的配方	首尾呼应

第二部分：密度的硬约束

\textbf{相邻段落的密度 } D \textbf{ 必须至少相差 2 倍。}

即 \max(D_i, D_{i+1}) \ge 2 \min(D_i, D_{i+1})。
核对方式：数每段一小节的击键次数，逐对相除。

理由：段落的边界由对比确定。 密度相差不足 2 倍时，听者无法在不看谱的情况下判断段落已经改变——而段落结构是作品可被整体把握的唯一依据（第 101 讲）。

一处必须注意的相容性
四个配方各自的密度区间为：135-R \le 4；136-R 4–8；137-R 6–12；138-R 12–16。
区间之间有重叠（如 136-R 与 137-R 在 6–8 重叠）。
故选定配方之后，还须在该配方的区间内挑一个具体值，使相邻段落满足 2 倍关系。
这一步不能省——"用了两个不同的配方"不蕴含"密度相差 2 倍"。

139.6 规则 139-A#

规则 139-A（即兴写歌的四条）

1. 五步必须按顺序完成，不得跳步，尤其不得先想旋律（§139.2 的说明）。
2. 每段只用一个走向（命题 139-1）。段内换走向会使决策量回到逐小节的规模。
3. 相邻段落的密度至少相差 2 倍（判据 139-A 第二部分）。
4. 第一遍不得停下修改。
   理由：即兴的定义是实时生成。停下修改属于编配（第 4 板块），不属于即兴。
   正确做法：把第一遍录下来，之后再改——那是第二遍的事，且那时做的是编配。

139.7 完整实例：一首 32 小节作品的设计#

第 1 步：结构（第 101 讲）

第 2 步：调性布局（记号 130-N）

前奏(C)　主歌(C)　副歌(C)　间奏(C)　副歌2(Db)
                                └─[Ab → Ab7]─┘

转调的核对（判据 134-A）：
目标调 D\flat，n = 5，降号方向 ⇒ 第 3 行 ⇒ 借用枢纽 ＋ V7(Y) ⇒ 方案 131-P 的 P1：Ab → Ab7 → Db ✓
四条硬约束：① 接点在段落边界 ✓；② 副歌2 为 8 小节 ✓；③ 全曲转调 1 次 ✓；④ 接点旋律须落在 A\flat、C、E\flat、F、G\flat 之一或休止（命题 131-4 推论）✓
实施：间奏的第 4 小节由走向的最后一个和弦改为 Ab（前两拍）＋ Ab7（后两拍）。

第 3–4 步：走向与配方

命题 139-2 核对：五段的 k 全部为正整数 ✓

判据 139-A 第二部分核对（相邻段落密度比）：

相邻对	D	比值	\ge 2？
前奏 → 主歌	3 → 7	2.33	✓
主歌 → 副歌	7 → 14	2.00	✓
副歌 → 间奏	14 → 6	2.33	✓
间奏 → 副歌2	6 → 14	2.33	✓

四对全部满足 ✓

配方密度区间核对：135-R 要求 \le 4（取 3 ✓）；137-R 要求 6–12（取 7 与 6 ✓）；138-R 要求 12–16（取 14 ✓）全部落在区间内 ✓

副歌为什么用 1451 而不用 1645
由 §138.6，配方 138-R 第 ④ 项禁止小三和弦，而 15 组走向中只有 1451 完全由正三和弦构成。
这是配方与走向之间的一处硬性约束，在第 3 步与第 4 步之间必须核对。
本例的前奏、主歌、间奏用 1645（含 vi），因为它们用的是 135-R 与 137-R，二者不禁止小三和弦。

第 5 步：织体与旋律

谱例五：间奏末两小节与副歌2 前两小节（转调接点）

X:85
T:139-1 间奏经 Ab7 转入 Db 大调的副歌（原创）
M:4/4
L:1/8
Q:1/4=126
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:C
V:RH
[cf]4 [cf]4 | [c_e]4 [c_g]4 | _d f _a _d' f' _d' _a f | _g _b _d' _g' _b' _g' _d' _b |]
V:LH
F,,2 [A,CF]2 C,2 [A,CF]2 | _A,,2 [C,_E,_A,]2 _A,,2 [C,_E,_G,]2 | _D,2 [F,_A,_D]2 _A,,2 [F,_A,_D]2 | _G,,2 [_D,_G,_B,]2 _D,2 [_D,_G,_B,]2 |]

谱例说明：

小节	段落	低音	和弦	配方	密度
1	间奏第 3 小节	F2 / C3	F	137-R	4 ＋ 2 = 6
2	间奏第 4 小节	A\flat2	Ab（前两拍）→ Ab7（后两拍）	137-R	6
3	副歌2 第 1 小节	D\flat3 / A\flat2	Db	138-R	4 ＋ 8 = 12
4	副歌2 第 2 小节	G\flat2 / D\flat3	Gb	138-R	12

密度由 6 跳到 12，恰为 2 倍 ✓（判据 139-A 第二部分）

第 2 小节的两个半小节：前两拍左手为 A\flat2 ＋ C3–E\flat3–A\flat3 = Ab；后两拍把 A\flat3 改为 G\flat3，即 A\flat2 ＋ C3–E\flat3–G\flat3 = Ab7 ✓ 只改一个音（与第 4-4 章谱例七的手法相同）。

判据 130-A 核对：条件 1——Ab7（第 2 小节后两拍）后紧接 Db（第 3 小节第 1 拍，强拍）✓；条件 2——第 3–4 小节无 C 大调的 V ✓ ⇒ 转调 ✓

第 3–4 小节右手的拱形（配方 138-R §138.7 ②）：
第 3 小节：D\flat5–F5–A\flat5–D\flat6–F6–D\flat6–A\flat5–F5，半音值 73, 77, 80, 85, 89, 85, 80, 77
半音差 +4,\ +3,\ +5,\ +4,\ -4,\ -5,\ -3 ⇒ 七个全部为跳进 ✓ 与谱例四第 1 小节的拱形完全同型，只是移到了 D\flat 大调。

建议的对照练习：

1. 只弹第 2 小节，16 次，♩ = 126——核对左手只有一个手指在动（A\flat3 → G\flat3）。
2. 密度对照：把第 1–2 小节与第 3–4 小节交替各四遍——数出两者每小节的击键次数（6 与 12），确认恰为 2 倍。
3. 反例（判据 139-A 第二部分）：把第 3–4 小节的右手改为每小节 4 个四分音符，演奏两遍——密度由 12 降至 8，比值由 2.00 降至 1.33；说出段落边界是否还听得出来。
4. 反例（规则 139-A 第 2 条）：在主歌的第 5 小节把走向由 1645 改为 6415，演奏整段两遍——段内换走向，8 小节内出现两组走向，段落的统一性消失。

练习

练习 139-1　方案 139-P 与命题 139-1

项	内容
练习内容	① 默写方案 139-P 的五步及各自的选择来源；② 证明命题 139-1，算出 P = 6、n = 8 的两个数；③ 填写五步各自的决策次数与候选数表；④ 说明"即兴为什么可能"
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 五行全对；② 48 与 6；③ 五行全对；④ 不是思考更快，而是决策量被结构压缩了

练习 139-2　命题 139-2

项	内容
练习内容	① 证明命题 139-2；② 独立核对 0-2 §4 的 15 组走向，按 L 分类；③ 写出 n = 8 时可用与不可用的走向及其组数；④ 写出三组不可用走向的三种处理办法
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① k = n/L 须为正整数；② L=3 两组、L=4 十组、L=7 一组、L=8 两组；③ 可用 12 组，不可用 3 组；④ 延长／拼接／改段长

练习 139-3　判据 139-A

项	内容
练习内容	① 默写判据 139-A 的两部分；② 说明密度硬约束的理由；③ 写出四个配方的密度区间，指出哪两对有重叠；④ 说明"用了两个不同的配方"为什么不蕴含"密度相差 2 倍"
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 六行 ＋ 一式；② 段落边界由对比确定；③ \le 4／4–8／6–12／12–16；136-R 与 137-R 在 6–8 重叠，137-R 与 138-R 在 12 相接；④ 区间重叠时可能取到相近的值

练习 139-4　实例的独立核对

项	内容
练习内容	① 独立核对 §139.7 五段的 k 是否全为整数；② 独立核对四对相邻段落的密度比；③ 核对每段的密度是否落在其配方的区间内；④ 说明副歌为什么用 1451 而前奏用 1645
速度	限时 25 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 1, 2, 2, 1, 2 全为整数；② 2.33／2.00／2.33／2.33，全部 \ge 2；③ 全部落在区间内；④ 138-R 禁小三和弦，而 15 组中只有 1451 全由正三和弦构成；135-R 与 137-R 不禁

练习 139-5　键盘：转调接点

项	内容
练习内容	① 按谱例五演奏 8 遍；② 做"建议的对照练习"第 1、2 项；③ 逐项核对判据 130-A 的两个条件；④ 算出第 3 小节右手拱形的七个半音差
速度	♩ = 100 起步，递进至 ♩ = 126
数量	8 遍
达标判定	① 合手无中断，第 3 小节的 Db 准时落在强拍；② 第 2 小节只动一个手指；密度 6 与 12；③ 两个条件均成立 ⇒ 转调；④ +4, +3, +5, +4, -4, -5, -3

练习 139-6　方案 139-P 阶段一（只做第 1–2 步）

项	内容
练习内容	① 每天设计 3 首歌的结构与调性布局，不演奏；② 用记号 130-N 写出；③ 每首的转调须通过判据 134-A 与四条硬约束；④ 连续 7 天
速度	—
数量	21 首
达标判定	① 21 首完成；② 记号正确，每段标调；③ 每首的转调都有逐行核对记录；④ 21 首中结构互不相同者不少于 10 首

练习 139-7　方案 139-P 阶段二（加第 3 步）

项	内容
练习内容	① 取阶段一的 5 首，为每段选一组走向；② 核对命题 139-2（k 为整数）；③ 在键盘上只弹和弦（每小节一个块和弦），把整首过一遍；④ 每首 4 遍
速度	♩ = 72 固定
数量	5 首 × 4 遍
达标判定	① 每段一组走向；② 全部 k 为整数；③ 32 小节无中断；④ 完成

练习 139-8　方案 139-P 阶段三（完整即兴）

项	内容
练习内容	① 取阶段二的 1 首，补上第 4 步（配方）与第 5 步（织体与旋律）；② 核对判据 139-A 的密度约束；③ 一次性完整演奏，中途不得停下修改（规则 139-A 第 4 条）；④ 录音回放，逐段核对该段配方的全部判据
速度	由各段配方决定
数量	连续 5 遍，每遍旋律不同
达标判定	① 五层全部填写；② 相邻段落密度比全部 \ge 2；③ 5 遍全部一次完成，无中断、无修改；④ 能指出每段中未满足的判据（若有）

达标自检

• 我能说出本讲的产出与第 135–138 讲有何不同。
• 我能默写方案 139-P 的五步及各自的选择来源。
• 我能说出旋律为什么排在最后。
• 我能复述并证明命题 139-1，算出 48 与 6 两个数。
• 我能说出"即兴为什么可能"的解释。
• 我能复述并证明命题 139-2。
• 我能默写 15 组走向按 L 的分类（2／10／1／2）。
• 我能说出 n = 8 时哪三组走向不能直接使用，以及三种处理办法。
• 我能默写判据 139-A 的两部分，并说出密度硬约束的理由。
• 我能说出四个配方的密度区间，并指出重叠之处。
• 我能独立核对 §139.7 实例的 k、密度比与配方区间。
• 我能说出副歌为什么必须用 1451。
• 我能复述规则 139-A 的四条。
• 我已完成谱例五的演奏，并核对了判据 130-A。
• 我已完成方案 139-P 的阶段一（21 首）。
• 我已完成阶段二（5 首 × 4 遍）。
• 我已完成阶段三（连续 5 遍，无中断、无修改）。

常见错误

第 140 讲　如何用钢琴即兴古风歌曲#

本讲目标

学完本讲后，你能：（1）说清**"古老"（第 136 讲）与"古风"（本讲）是两个不同的设计目标**，并默写二者的五行对照表；（2）复述并证明命题 140-1（五声旋律在顺阶和声上的禁用音只有一个），并说出它为什么解释了本体裁的成立；（3）复述并证明命题 140-2（偏音的引入代价），默写两个音程含量向量；（4）复述记号 140-N（装饰音的统计约定）与命题 140-3；（5）复述并证明命题 140-4（五声阶内相邻进行的 \sigma 恰为 0.4），并说出配方阈值为什么不是任选的；（6）默写配方 140-R 与其参量依据表；（7）复述规则 140-A 的三条；（8）演奏谱例并通过九项执行核对。

理论

140.1 "古风"不是"古老"#

术语说明｜古风
"古风"是 21 世纪初形成于中文互联网的一种流行音乐体裁的俗称，不是学术术语。
本教程采用的定义（仅就可核对的特征而言）：

\textbf{旋律限于五声音阶，而和声使用大小调功能和声。}

这两条同时成立，才是本讲的对象。

本讲与第 136 讲的关系必须先说清。
第 136 讲的配方 136-R 由命题 136-3 推论出发，主动放弃了功能和声。
本讲的配方 140-R 保留功能和声。 二者不是同一目标的两种写法。

唯一相同的一行是旋律。
故不得把本讲当作第 136 讲的"加了和弦的版本"——它们在和声上处于两套不同的规则之下。

140.2 命题 140-1：五声旋律与顺阶和声几乎完全相容#

本体裁能够成立，依赖一个可以算出来的事实：五声旋律与大调功能和声之间几乎没有冲突。本节把它算清楚。

命题 140-1（五声旋律在顺阶三和弦上的禁用音）
设旋律限于 C 宫五声音阶 \{C, D, E, G, A\}，和声用 C 大调的七个顺阶三和弦。
按规则 128-M 逐个核对，属于五声音阶的禁用音为：

顺阶三和弦	组成音	含 B？	禁用的五声音
C	C E G	否	无
Dm	D F A	否	无
Em	E G B	是	C
F	F A C	否	无
G	G B D	是	C
Am	A C E	否	无
Bdim	B D F	是	C

证明：
(i) 由 M1，旋律音在某个发声音上方 1 个半音处时被禁。
(ii) 五声音阶的五个音 \{C, D, E, G, A\} 中，处在某个 C 大调顺阶音上方 1 个半音处的只有 C（它在 B 的上方 1 个半音）。
逐一核对：D 上方半音的是 C\sharp（不在音阶内）；E 的下方是 D\sharp，E 本身在 D\sharp 上方而 D\sharp 不在音阶内；G 在 F\sharp 上方，F\sharp 不在音阶内；A 在 G\sharp 上方，G\sharp 不在音阶内。故只有 C。
(iii) B 只出现在 Em、G、Bdim 三个和弦中。
(iv) 由 M2，禁用音须与发声音同名异高；五声音阶的五个音全为本位音，而顺阶和弦的音亦全为本位音，故 M2 在此不触发。
综合得上表 \blacksquare

命题 140-1 推论 1（相容性的量化）
七个顺阶三和弦中，四个对五声旋律完全没有禁用音；另三个只禁一个音。
五个旋律音 × 七个和弦 = 35 个组合中，被禁的只有 3 个，占 3/35 \approx 8.6\%。

这是"旋律五声、和声西化"能够成立的结构原因。
它不是风格上的巧合，而是一个可以数出来的相容性。

命题 140-1 推论 2（该禁用是声位相关的）
由 M1 的定义，C 被禁只在它恰处于某个发声的 B 上方 1 个半音时（如 B4 与 C5）。
若旋律的 C 与和弦的 B 相距 13 个半音或更远，M1 不触发，C 可用。
这与命题 138-2 是同一机制。

实践后果：把 Em、G、Bdim 的 B 放在低音区（B2 或更低），旋律的 C 即可自由使用。
本讲谱例六正是这样处理的（第 3、7 小节的 B2 与旋律的 C5 相距 25 个半音）。

140.3 命题 140-2：偏音的引入代价#

术语说明｜偏音
中国传统乐理中，五声之外的音称为偏音。
C 宫最常用的两个偏音是 F（清角）与 B（变宫）；五声加此二音即成七声，其音集与自然大调相同。

命题 140-2（偏音使两类冲突由零变为非零）
比较五声音阶与七声音阶的音程含量（各类音程在全部音对中出现的次数）：

半音数	1	2	3	4	5	6	音对总数
五声 \{C,D,E,G,A\}	0	3	2	1	4	0	\binom{5}{2} = 10
七声 \{C,D,E,F,G,A,B\}	2	5	4	3	6	1	\binom{7}{2} = 21

加入两个偏音后：小二度由 0 对增至 2 对（E–F 与 B–C），三全音由 0 对增至 1 对（F–B）。

证明：五声一行即命题 136-1。七声一行由逐对枚举得；核对总数 2+5+4+3+6+1 = 21 = \binom{7}{2} ✓ \blacksquare

命题 140-2 推论（核对义务的恢复）
命题 136-1 推论（M1 在五声内自动满足）依赖"小二度对数为 0"。
偏音一旦进入旋律，该条件不再成立，规则 128-M 的逐音核对必须恢复（规则 136-A 第 3 条）。

本配方的处理：把偏音限制在和声层，旋律层严格五声（规则 140-A 第 2 条）。
这样一来，需要核对的只剩命题 140-1 表中的那一个音（C）。

140.4 记号 140-N 与命题 140-3：装饰音#

术语说明｜倚音与波音
倚音（grace note）：占据主音时值的一小部分、记在主音之前的短音。
波音（mordent）：主音与其相邻音的一次快速往返。
在古风织体中，二者用于模仿古筝、琵琶等弹拨乐器的余音，是本配方的特征手法。

记号 140-N（装饰音的记法与统计约定）

	规定
记法	本教程纯文本中写作 (G)F，表示 G 是 F 的倚音；ABC 中写作 {g}f
计算 \rho 与 \sigma 时	装饰音不计入——它们修饰的是同一个旋律事件，不是独立的旋律音
计算密度 D 时	装饰音计入——它们是实际发生的击键

这两条必须同时照做。 只取其一会使两个量互相矛盾。

命题 140-3（装饰音解开了 D 与 \sigma 的牵连）
设某段每小节有 a 个主音、b 个装饰音。由记号 140-N：

D = a + b,\qquad \sigma\ \text{与}\ \rho\ \text{只由那}\ a\ \text{个主音决定}

故增加 b 可以提高 D 而完全不改变 \sigma 与 \rho \blacksquare

推论（本配方为什么可行）
在配方 138-R 中，D 与 \sigma 由命题 138-1 牵连在一起——提高密度往往连带提高跳进比例。
本配方要求"\sigma 低（五声旋律以阶内相邻进行为主）"而"D 中高（织体要密）"，两者在 138-R 的框架下互相冲突。
装饰音是解开这一冲突的手段：它只进 D，不进 \sigma。

140.5 命题 140-4：\sigma \le 0.4 这个阈值是算出来的#

命题 140-4（五声阶内相邻进行的跳进比例）
由命题 136-4 第 1 行，五声音阶内阶内音级差 k = 1 的进行，其实际音程为 2 或 3 个半音。
在 C 宫五声的一个八度内，五个相邻音程依次为

2,\quad 2,\quad 3,\quad 2,\quad 3

由第 138 讲的定义（\ge 3 为跳进），其中 2 个为跳进、3 个为级进。
故若五个相邻音程出现的次数相同，则

\sigma \;=\; \frac{2}{5} \;=\; \mathbf{0.4}

\blacksquare

命题 140-4 推论（阈值的来源）
配方 140-R 第 ⑨ 项取 \sigma \le 0.4，即"以阶内相邻进行为主"。
这个阈值不是任选的数字——它恰是五声阶内相邻进行本身的 \sigma 值。

\sigma	含义
\approx 0.4	旋律基本只作阶内相邻进行
< 0.4	相邻进行中偏重 2 个半音的那三处（C–D、D–E、G–A）
> 0.4	出现了阶内音级差 \ge 2 的进行（跨音）

对照配方 138-R 的 \sigma \ge 0.4：两个配方以同一个数值为界，分居两侧。
这个数值之所以能同时充当两个配方的分界，是因为它是五声音阶的一个固有常数。

140.6 配方 140-R：古风#

配方 140-R（九项）

	参量	设定	可核对判据
①	音区 R	左手 C2–C4，右手 C4–C6	最低音 \ge 36，最高音 \le 84
②	密度 D	每小节 8–14 次（含装饰音，记号 140-N）	数 X（装饰音计入）
③	声部数 V	3–5	逐单位数音
④	和弦类型 C	全部顺阶三和弦与七和弦；不用调外和弦	和弦符号全部为本调顺阶
⑤	调式 M	旋律严格限于五声；和声用七声（功能和声）	旋律行检索 F 与 B，须为 0 次；和声行不检索
⑥	速度 T	♩ = 66–92	读谱头
⑦	力度 P	mp–mf	读力度记号
⑧	踏板 S	每和声单位换一次	读踏板记号
⑨	旋律	\sigma \le 0.4（命题 140-4）；每 2 小节至少 1 个装饰音	算 \sigma（装饰音不计入）；数装饰音个数

该配方各项的依据：

九项中有三项（⑤⑧⑨）由命题支持，六项属经验。
注意 ⑤ 与 ⑨ 各有两条依据——这是本章依据最密的两项设定。

140.7 规则 140-A#

规则 140-A（古风写作的三条）

1. 本配方保留功能和声，配方 136-R 放弃功能和声。
   两者只有旋律一行相同（§140.1 的五行对照表）。不得混用两套规则。
   核对：若段落以正格终止收束，用的是本配方；若以宫／羽长音 ＋ 密度骤降收束，用的是 136-R。
2. 旋律不得越出五声；和声不受此限。
   核对方式：只检索旋律行是否出现 F 或 B（C 宫），须为 0 次；和声行不检索——F、G、Em 等和弦本来就含 F 与 B。
   这是本配方与规则 136-A 第 3 条的唯一差别：那里两层都不许，这里只限旋律层。
3. C 是唯一需要逐处核对的旋律音（命题 140-1）。
   在 Em、G、Bdim 上使用旋律音 C 时，须核对该和弦的 B 与旋律的 C 是否相距 1 个半音；相距 13 个半音或更远则可用（命题 140-1 推论 2）。
   最简便的做法：把这三个和弦的 B 放在 B2 或更低。

140.8 键盘实现#

① 左手：分解三和弦（模仿弹拨乐器）

每小节四拍：根音 → 三音 → 五音 → 三音
LH 音域：C2–D3        指法 5-3-2-3（根音在 5 指）

与配方 138-R 的大跳织体的差别：大跳是"低音 ＋ 和弦块"的交替；本配方是单音的连续分解。
后者每小节同样产生 4 次击键，但没有和弦块，故声部数 V 更低（3–5 对 4–6）。

② 右手：主音 ＋ 倚音

倚音写在主音之前，时值极短（不超过一个十六分音符）
倚音与主音的关系：取五声阶内的相邻音（上方或下方）
指法：倚音用相邻手指，主音用目标手指，两指连续下键，手腕不动

核对：倚音不得占用主音的拍点。 若主音落在拍点上，倚音应在拍点之前发声。
若听起来像"两个等长的音"，说明倚音太长。

③ 踏板

每和声单位换一次。
理由：本配方的和声是功能和声，相邻和弦有共同音也有异音；不换踏板会使前一和弦的三音与后一和弦的音相叠。
注意这与配方 136-R（每小节换）的差别：那里因为命题 136-1 保证无小二度，踏板可以宽松；这里和声层用的是七声，两个偏音已经进来了，小二度重新成为可能（命题 140-2）。

140.9 谱例#

谱例六：五声旋律与顺阶功能和声（走向 6451）

X:86
T:140-1 五声旋律与顺阶功能和声（走向 6451，原创）
M:4/4
L:1/8
Q:1/4=76
%%score {RH LH}
V:RH clef=treble
V:LH clef=bass
K:C
V:RH
{c'}a4 g2 e2 | {e}g4 a2 c'2 | {c'}a4 g2 e2 | {a}g4 e2 d2 | {g}e4 d2 c2 | {e}d4 c2 d2 | {g}e4 d2 c2 | {d}e2 d2 c4 |]
V:LH
A,,2 C,2 E,2 C,2 | F,,2 A,,2 C,2 A,,2 | G,,2 B,,2 D,2 B,,2 | C,,2 E,,2 G,,2 E,,2 | A,,2 C,2 E,2 C,2 | F,,2 A,,2 C,2 A,,2 | G,,2 B,,2 D,2 B,,2 | C,,2 E,,2 G,,2 E,,2 |]

谱例说明：

小节	和弦	左手分解（半音值）	主旋律音	倚音
1	Am（vi）	A2 C3 E3 C3（45, 48, 52, 48）	A5 G5 E5	C6
2	F（IV）	F2 A2 C3 A2（41, 45, 48, 45）	G5 A5 C6	E5
3	G（V）	G2 B2 D3 B2（43, 47, 50, 47）	A5 G5 E5	C6
4	C（I）	C2 E2 G2 E2（36, 40, 43, 40）	G5 E5 D5	A5
5	Am	同第 1 小节	E5 D5 C5	G5
6	F	同第 2 小节	D5 C5 D5	E5
7	G	同第 3 小节	E5 D5 C5	G5
8	C	同第 4 小节	E5 D5 C5	D5

走向为 6451（vi–IV–V–I，0-2 §4），L = 4，k = 8/4 = 2 ✓（命题 139-2）
第 7→8 小节为正格终止 G → C ✓（规则 140-A 第 1 条的段落结束标志）

命题 140-1 的核对（本谱例的关键一处）：
第 7 小节的和弦是 G，含 B2 = 47；该小节旋律的末音是 C5 = 72。

72 - 47 = 25\ \text{个半音} \;\ne\; 1

M1 不触发 ⇒ C5 可用 ✓（命题 140-1 推论 2）
这正是 §140.8 ③ 所说的处理办法：把 B 放在低音区。

九项判据逐项核对：

项	判据	本谱例	结果
①	最低 \ge 36，最高 \le 84	最低 C2 = 36，最高 C6 = 84	✓
②	每小节 8–14 次（含装饰音）	左手 4 ＋ 右手 4（1 倚音 ＋ 3 主音）= 8	✓
③	V = 3–5	踏板内左手 3 音 ＋ 旋律 1 音 = 4	✓
④	全部顺阶	Am、F、G、C	✓
⑤	旋律行无 F 与 B	旋律用音 \{C, D, E, G, A\}，0 次	✓
⑥	♩ = 66–92	♩ = 76	✓
⑦	mp–mf	全曲 mp	✓
⑧	每和声单位换踏板	8 次	✓
⑨	\sigma \le 0.4；每 2 小节 \ge 1 个装饰音	见下	✓

第 ⑨ 项的计算（只用 24 个主音，8 个倚音不计入，记号 140-N）：
主音序列 81, 79, 76,\ 79, 81, 84,\ 81, 79, 76,\ 79, 76, 74,\ 76, 74, 72,\ 74, 72, 74,\ 76, 74, 72,\ 76, 74, 72
23 个相邻音程，无同音反复 ⇒ m = 23
其中跳进（\ge 3）为 -3, +3, +3, -3, -3, +3, -3, +4，共 8 个

\sigma = \frac{8}{23} \approx \mathbf{0.348} \;\le\; 0.4\ ✓

装饰音：每小节 1 个，共 8 个 ⇒ 每 2 小节 2 个 \ge 1 ✓

命题 140-3 的现场验证：把 8 个倚音全部去掉，则 D 由 8 降至 7，而 \sigma 仍为 8/23——完全不变 ✓

建议的对照练习：

1. 只弹左手，8 小节 16 遍，♩ = 76——核对分解为"根—三—五—三"，指法 5-3-2-3 全程不变。
2. 倚音的时值：只弹第 1 小节右手，16 次——倚音 C6 必须在拍点之前发声，主音 A5 落在拍点上；若听起来像两个等长的音，说明倚音太长（§140.8 ②）。
3. 命题 140-1 的反例：把第 7 小节左手的 B2 改为 B4（B，半音值 71），演奏两遍——该小节旋律末音 C5 = 72 与 B4 相距 1 个半音，M1 触发；冲突明显。再改回 B2，冲突消失。
4. 反例（规则 140-A 第 2 条）：把第 2 小节旋律的 A5 改为 B5，演奏两遍——旋律越出五声，第 ⑤ 项不满足；且由命题 140-2，此后全曲须恢复规则 128-M 的逐音核对。
5. 命题 140-3 的验证：分别演奏"含全部倚音"与"去掉全部倚音"两个版本各四遍——数出两者的 D（8 与 7）与 \sigma（均为 0.348）。
6. 与配方 136-R 的对照：把本谱例的左手改为配方 136-R 的纯五度（A2–E3、F2–C3、G2–D3、C2–G2，每小节一次），演奏两遍——和声由功能和声退回纯五度，第 7→8 小节不再构成正格终止；说出此时该用哪一条段落结束标志。

练习

练习 140-1　"古老"与"古风"的区分

项	内容
练习内容	① 写出本教程对"古风"的定义（两条同时成立）；② 默写配方 136-R 与 140-R 的五行对照表；③ 指出唯一相同的一行；④ 写出规则 140-A 第 1 条的核对方式
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 旋律限五声 且 和声用功能和声；② 五行全对；③ 旋律；④ 看段落如何收束——正格终止为本配方，宫／羽长音＋密度骤降为 136-R

练习 140-2　命题 140-1

项	内容
练习内容	① 独立核对七个顺阶三和弦，填出完整的禁用音表；② 写出证明的四步；③ 算出 35 个组合中被禁的比例；④ 写出推论 2，并说明它与命题 138-2 的关系
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 七行全对，只有含 B 的三个禁 C；② 四步完整，尤其第 (ii) 步的逐一核对；③ 3/35 \approx 8.6\%；④ 禁用是声位相关的，与命题 138-2 同机制

练习 140-3　命题 140-2

项	内容
练习内容	① 写出偏音的定义与 C 宫的两个常用偏音；② 笔算：枚举七声音阶的 21 个音对，填出音程含量的六个数；③ 核对总数；④ 说明加入偏音后哪两条结论失效
速度	限时 35 分钟
数量	一次完成，允许一次重做
达标判定	① 清角 F 与变宫 B；② 2, 5, 4, 3, 6, 1；③ 2+5+4+3+6+1 = 21 = \binom{7}{2} ✓；④ 小二度由 0 变 2（E–F、B–C），三全音由 0 变 1（F–B）⇒ 命题 136-1 推论失效，核对义务恢复

练习 140-4　记号 140-N 与命题 140-3

项	内容
练习内容	① 默写记号 140-N 的三条规定；② 说明"两条必须同时照做"的理由；③ 证明命题 140-3；④ 说明装饰音为什么能解开 D 与 \sigma 的牵连
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 三条全对；② 只取其一会使两个量互相矛盾；③ D = a+b，而 \sigma 只由 a 个主音决定；④ 装饰音只进 D，不进 \sigma；在 138-R 中二者由命题 138-1 牵连

练习 140-5　命题 140-4

项	内容
练习内容	① 写出五声八度内的五个相邻音程；② 证明命题 140-4；③ 填写 \sigma 三档的含义表；④ 说明为什么同一个数值 0.4 能同时充当 138-R 与 140-R 的分界
速度	限时 20 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 2, 2, 3, 2, 3；② 其中 2 个 \ge 3 ⇒ \sigma = 2/5；③ 三档全对；④ 它是五声音阶的一个固有常数，不是任选的数字

练习 140-6　配方 140-R 的默写

项	内容
练习内容	① 默写配方 140-R 的九项设定与九条判据；② 默写参量依据表；③ 统计可证与经验各几项；④ 复述规则 140-A 的三条
速度	限时 30 分钟
数量	一次完成
达标判定	① 九行全对；② 六行全对；③ 三项可证（⑤⑧⑨）、六项经验；④ 三条全对

练习 140-7　键盘：分解与倚音

项	内容
练习内容	① 做"建议的对照练习"第 1、2 项；② 合手演奏谱例六 8 遍；③ 做对照练习第 3、4、5 项；④ 独立计算第 ⑨ 项的 \sigma
速度	♩ = 66 起步，递进至 ♩ = 92
数量	② 8 遍
达标判定	① 指法 5-3-2-3 不变；倚音短于十六分音符；② 合手无中断；③ 第 3 项能听出 B4 与 C5 的冲突；第 5 项两个版本的 \sigma 相同；④ \sigma = 8/23 \approx 0.348

练习 140-8　自作一段（羽调式古风）

项	内容
练习内容	① 用 a 羽旋律（音集 \{A, C, D, E, G\}）＋ a 小调顺阶和声自作 8 小节；② 走向从第 3-1 章的 15 组中选一组（核对 k 为整数）；③ 逐项核对九条判据，算出 \sigma；④ 逐处核对规则 140-A 第 3 条
速度	♩ = 66–92 自选，固定
数量	8 遍
达标判定	① 8 小节完整，旋律无 F 与 B；② k 为整数；③ 九项全部满足，\sigma \le 0.4；④ 凡含 G\sharp 或 B 的和弦处，均核对了与旋律的半音差

练习 140-9　完整古风即兴（本章的综合练习）

项	内容
练习内容	① 按方案 139-P 的五步设计一首 32 小节的古风作品；② 第 4 步的配方全部取 140-R，但逐段调整密度 D，使判据 139-A 第二部分（相邻段落密度 \ge 2 倍）成立；③ 说明这一要求与配方 140-R 第 ② 项（8–14）能否同时满足；④ 完整演奏 5 遍，中途不停
速度	由各段决定
数量	5 遍
达标判定	① 五层全部填写；② 至少一对相邻段落的比值 \ge 2；③ 不能全段都用 140-R——区间 8–14 内最大比值只有 14/8 = 1.75 < 2，故必须至少有一段改用别的配方；④ 5 遍无中断

达标自检

• 我能写出本教程对"古风"的定义，并说出它与"古老"只有旋律一行相同。
• 我能默写配方 136-R 与 140-R 的五行对照表。
• 我能独立核对七个顺阶三和弦，写出命题 140-1 的完整禁用音表。
• 我能说出五声旋律与顺阶和声的相容比例（3/35）。
• 我能说出该禁用为什么是声位相关的，以及最简便的处理办法。
• 我能默写五声与七声的两个音程含量向量，并核对各自的音对总数。
• 我能说出加入偏音后哪两条结论失效。
• 我能默写记号 140-N 的三条规定。
• 我能复述并证明命题 140-3，说出装饰音为什么只进 D。
• 我能复述并证明命题 140-4，说出 0.4 这个阈值的来源。
• 我能说出同一个 0.4 为什么能同时充当两个配方的分界。
• 我能默写配方 140-R 的九项与参量依据表。
• 我能复述规则 140-A 的三条。
• 我已完成谱例六的演奏，并独立算出 \sigma。
• 我已完成六条对照练习，尤其第 3 项（B2 改 B4）与第 5 项（去掉倚音）。
• 我已完成练习 140-9，并说出为什么不能全段都用配方 140-R。